Заметим, что у = х². Подставим значения у в уравнение у = х²:
у₁ = х² → 1/3 = х²
у₂ = х² → -3 = х²
В первом уравнении будет два решения: х₁ = -sqrt(1/3) и х₂ = sqrt(1/3). Во втором уравнении решений нет.
Ответ: х₁ = -sqrt(1/3); х₂ = sqrt(1/3).
Уравнение 1) х²+8х/х+10=20/х+10:
Для начала приведем дроби к общему знаменателю. У нас в знаменателе обеих дробей стоит х+10, поэтому их можно привести к общему знаменателю, перемножив их:
(х²+8х)/(х+10) = (20)/(х+10)
Теперь умножим обе части уравнения на (х+10), чтобы избавиться от знаменателя:
(х²+8х) = 20
Раскроем скобки:
х²+8х = 20
Теперь приведем всё к одному виду, чтобы сделать уравнение квадратным:
х²+8х -20 = 0
Для решения этого квадратного уравнения, воспользуемся формулой дискриминанта:
D = 8² - 4 * 1 * (-20) = 64 + 80 = 144
Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня:
Давайте введем новую переменную, например, у = х². Тогда уравнение примет вид у²-50у+49=0. Решим это квадратное уравнение:
D = (-50)² - 4 * 1 * 49 = 2500 - 196 = 2304
Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня:
у₁ = (-(-50) + sqrt(2304)) / (2 * 1) = (50 + 48) / 2 = 49
у₂ = (-(-50) - sqrt(2304)) / (2 * 1) = (50 - 48) / 2 = 1
Теперь мы знаем, что у = х². Подставим значения у в это равенство:
у₁ = х² → 49 = х²
у₂ = х² → 1 = х²
В первом уравнении корни будут х₁ = -7 и х₂ = 7. Во втором уравнении решений нет.
Ответ: х₁ = -7; х₂ = 7.
Уравнение 2) х⁴-5х²-36=0:
Опять же, введем новую переменную, пусть у = х². Тогда уравнение станет у² - 5у - 36 = 0. Решим это квадратное уравнение:
D = (-5)² - 4 * 1 * (-36) = 25 + 144 = 169
Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня:
у₁ = (5 + 13) / 2 = 9
у₂ = (5 - 13) / 2 = -4
Подставим эти значения у в уравнение у = х²:
у₁ = х² → 9 = х²
у₂ = х² → -4 = х²
В первом уравнении корни будут х₁ = -3 и х₂ = 3. Во втором уравнении решений нет.
Ответ: х₁ = -3; х₂ = 3.
Уравнение 3) 4х⁴-13х²+3=0:
Предлагаю здесь ввести новую переменную, скажем, у = х². Тогда уравнение примет вид 4у² - 13у + 3 = 0. Решим его:
D = (-13)² - 4 * 4 * 3 = 169 - 48 = 121
Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня:
у₁ = (13 + 11) / 8 = 3/2 = 1,5
у₂ = (13 - 11) / 8 = 2/8 = 0,25
Теперь заметим, что у = х². Подставим значения у в это равенство:
у₁ = х² → 1,5 = х²
у₂ = х² → 0,25 = х²
В первом уравнении решений нет. Во втором уравнении будет одно решение х = 0,5.
Ответ: х = 0,5.
Уравнение 4) 3х⁴+8х²-3=0:
Снова введем новую переменную, допустим, у = х². Тогда уравнение станет 3у² + 8у - 3 = 0. Решим его:
D = 8² - 4 * 3 * (-3) = 64 + 36 = 100
Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня:
у₁ = (-8 + 10) / 6 = 2/6 = 1/3
у₂ = (-8 - 10) / 6 = -18/6 = -3
Заметим, что у = х². Подставим значения у в уравнение у = х²:
у₁ = х² → 1/3 = х²
у₂ = х² → -3 = х²
В первом уравнении будет два решения: х₁ = -sqrt(1/3) и х₂ = sqrt(1/3). Во втором уравнении решений нет.
Ответ: х₁ = -sqrt(1/3); х₂ = sqrt(1/3).
Уравнение 1) х²+8х/х+10=20/х+10:
Для начала приведем дроби к общему знаменателю. У нас в знаменателе обеих дробей стоит х+10, поэтому их можно привести к общему знаменателю, перемножив их:
(х²+8х)/(х+10) = (20)/(х+10)
Теперь умножим обе части уравнения на (х+10), чтобы избавиться от знаменателя:
(х²+8х) = 20
Раскроем скобки:
х²+8х = 20
Теперь приведем всё к одному виду, чтобы сделать уравнение квадратным:
х²+8х -20 = 0
Для решения этого квадратного уравнения, воспользуемся формулой дискриминанта:
D = 8² - 4 * 1 * (-20) = 64 + 80 = 144
Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня:
х₁ = (-8 + sqrt(144)) / (2 * 1) = (-8 + 12) / 2 = 2
х₂ = (-8 - sqrt(144)) / (2 * 1) = (-8 - 12) / 2 = -10
Ответ: х₁ = 2; х₂ = -10.
Уравнение 2) 2х²-3х/х²-4=2х-2/х²-4:
Также приведем дроби к общему знаменателю. Здесь общий знаменатель это х²-4. Умножим обе части уравнения на х²-4:
(2х²-3х) = (2х-2)
Раскроем скобки:
2х²-3х =2х-2
Теперь приведем всё к одному виду, чтобы сделать уравнение квадратным:
2х²-3х-2х+2 =0
Упростим выражение:
2х²-5х+2 =0
Решим это квадратное уравнение:
D = (-5)² - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9
Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня:
х₁ = (-(-5) + sqrt(9)) / (2 * 2) = (5 + 3) / 4 = 2
х₂ = (-(-5) - sqrt(9)) / (2 * 2) = (5 - 3) / 4 = 1/2
Ответ: х₁ = 2; х₂ = 1/2.
Уравнение 3) 5х+3/х+5=3х+1/х+2:
Как и в предыдущих случаях, приведем дроби к общему знаменателю, который является (х+5)(х+2):
(5х+3)/(х+5) = (3х+1)/(х+2)
Теперь умножим обе части уравнения на (х+5)(х+2), чтобы избавиться от знаменателя:
(5х+3)(х+2) = (3х+1)(х+5)
Раскроем скобки:
5х² + 13х + 6 = 3х² + 16х + 5
Упростим выражение:
2х² + 3х + 1 = 0
Решим это квадратное уравнение:
D = 3² - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1
Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня:
х₁ = (-3 + sqrt(1)) / (2 * 2) = (-3 + 1) / 4 = -1/2
х₂ = (-3 - sqrt(1)) / (2 * 2) = (-3 - 1) / 4 = -1
Ответ: х₁ = -1/2; х₂ = -1.
Уравнение 4) 1/х+3-1/х+5=1/4:
Приведем дроби к общему знаменателю, который будет равен (х+3)(х+5):
(1)/(х+3) - (1)/(х+5) = (1)/(4)
Упростим выражение:
(х+5)/(х+3)(х+5) - (х+3)/(х+3)(х+5) = (х+3)/(4(х+3)(х+5))
(x + 5 - x - 3)/(x + 3)(x + 5) = (x + 3)/(4(x + 3)(x + 5))
2/(x + 3)(x + 5) = (x + 3)/(4(x + 3)(x + 5))
Умножим обе части уравнения на 4(x + 3)(x + 5), чтобы избавиться от знаменателя:
8 = (x + 3)²
Раскроем скобку:
8 = x² + 6x + 9
Перенесем все члены влево:
x² + 6x + 9 - 8 = 0
Упростим выражение:
x² + 6x + 1 = 0
Решим это квадратное уравнение:
D = 6² - 4 * 1 * 1 = 36 - 4 = 32
Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня:
x₁ = (-6 + sqrt(32)) / 2 = (-6 + 4√2) / 2 = -3 + 2√2
x₂ = (-6 - sqrt(32)) / 2 = (-6 - 4√2) / 2 = -3 - 2√2
Ответ: x₁ = -3 + 2√2; x₂ = -3 - 2√2.