Решите систему неравенств ​

x∈[-1, 1)∪(3, 5]

Объяснение:

Решить систему неравенств:

х²-4х+3<=8

(x-3)(x-1)>0

Первое неравенство. Решить как квадратное уравнение:

х²-4х+3=8

х²-4х+3-8=0

х²-4х-5=0, ищем корни:

х₁,₂=(4±√16+20)/2

х₁,₂=(4±√36)/2

х₁,₂=(4±6)/2

х₁= -2/2

х₁= -1

х₂=10/2

х₂=5

Начертим СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает уравнение, ветви направлены вверх, парабола пересекает ось Ох при х= -1 и х=5. По графику ясно видно, что у<=0 при х от -1 до 5, то есть, решения неравенства находятся в интервале  

х∈ [-1, 5], это решение первого неравенства.  

Неравенство нестрогое, значения х= -1 и х=5 входят в число решений неравенства, скобки квадратные.

Второе неравенство. Также решим как квадратное уравнение, удобнее определять интервалы решений неравенства:

(x-3)(x-1)>0

х²-х-3х+3>0

х²-4х+3>0, ищем корни:

х₁,₂=(4±√16-12)/2

х₁,₂=(4±√4)/2

х₁,₂=(4±2)/2

х₁=2/2

х₁=1

х₂=6/2

х₂=3

Снова чертим СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает уравнение, ветви направлены вверх, парабола пересекает ось Ох при х= 1 и х=3. По графику ясно видно, что у>0 при х влево и вправо от точек пересечения параболой оси Ох, то есть,

х∈(-∞, 1)∪(3, +∞). Это решение второго неравенства.

Неравенство строгое, скобки круглые.

Теперь нужно найти пересечение решений неравенств, то есть, такое решение, которое подходит и первому, и второму неравенствам.

На числовой оси отмечаем точки -1, 1, 3, 5. Наносим штриховку в соответствии с двумя решениями.

Находим пересечение: x∈[-1, 1)∪(3, 5], то есть решения системы неравенств находятся в интервале при х от -1 до 1, и от 3 до 5.

Значения х= -1 и х=5 входят в число решений системы, скобка квадратная, значения х=1 и х=3 не входят в число решений, скобка круглая.