Алгебра: Решите неравенства, хотя бы одно,

Решите неравенства, хотя бы одно,

Ответы

оаоашвов 05.10.2020 09:37

Объяснение:

$log_{2 - x}(x + 2) \times log_{x + 3}(3 - x) \leqslant 0 \\ \\$

Находим область допустимых значений ( ОДЗ )Х € ( -2; 1 ) U ( 1; 2 )

Рассмотрим все возможные случаи :

Фото приложено~•~•~•ZLOY_TIGROVSKIY~•~•~•
Решите неравенства, хотя бы одно,

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

DYUK1s 05.10.2020 09:37

1-е неравенство:

$log_{2-x}(x+2)*log_{x+3}(3-x)\leq 0;$

Чтобы не мучаться с совокупностью двух систем, применим метод рационализации. Советую о нем почитать, так как он сильно упрощает жизнь. Конкретно здесь выражение вида log_ab*log_cd по знаку эквивалентно выражению (a-1)(b-1)(c-1)(d-1)

$(2-x-1)(x+2-1)(x+3-1)(3-x-1)\leq 0;\\ (-x+1)(x+1)(x+2)(-x+2)\leq 0;\\ (x+2)(x+1)(x-1)(x-2)\leq 0$ .

Знак не поменял, так как дважды менял знак в скобках

Теперь используем метод интервалов. Я специально перед каждым x оставил коэффициент 1, здесь при каждой скобке степень равна 1, это значит, что знак при переходе через нуль функции будет меняться, а в самом крайнем правом промежутке будет "+" f(x)=(x+2)(x+1)(x-1)(x-2); x=-2;x=-1;x=1;x=2 - нули функции.

В итоге получим x∈[-2;-1]∪[1;2]

Но мы не учли область определения неравенства

Это система из нескольких неравенств:

2-x>0 => x<2

2-x≠1 => x≠1

x+2>0 => x>-2

x+3>0 => x>-3

x+3≠1 => x≠-2

3-x>0 => x<3

Из всего этого добра как раз и получаем, что x∈(-2;-1]∪(1;+∞)

Теперь решаем следующее неравенство:

$log_3((x+2)(x+4))+log_{\frac{1}{3} }(x+2)$

=> функция логарифма с основанием большим 1 монотонно возрастает, тогда имеет место переход к неравенству x+4

Теперь осталось учесть область определения неравенства:

$\left \{ {{(x+2)(x+4)0} \atop {(x+2)0}} \right.$ , отсюда, кстати, сразу следует, что в первом неравенстве обе скобки должны быть больше нуля, то есть $\left \{ {{x+20} \atop {x+40}} \right.; \left \{ {{x-2} \atop {x-4}} \right. =x-2$