Решить уравнение: 2sin²x+5sinx+2=0

Уравнения с тригонометрическими функциями часто решаются через замену функции другой переменной.

При решении уравнения с тригонометрической функцией важно помнить

Основную тригонометрическую формулу: 1 = sin2a + cos2а;

Внимательно следить за ОДЗ (область допустимых значений);

Заменять тригонометрическую функцию можно только тогда, когда в уравнении больше нет других тригонометрических функций.

Нам дано уравнение 2cos2x + 5sinx + 1 = 0

Заменим cos2x синусом в квадрате по формуле 1 = sin2a + cos2а.

Из этой формулы следует, что cos2а = 1 - sin2a.

Подставим выраженное значение cos2а в наше уравнение.

2(1 - sin2a) + 5sinx + 1 = 0

Раскрываем скобки и подводим подобные слагаемые.

2 - 2sin2a + 5sinx + 1 = 0

- 2sin2a + 5sinx + 3 = 0

Умножим все уравнение на (- 1) для облегчения дальнейших расчетов.

2sin2a - 5sinx - 3 = 0

Произведем замену

Пусть sina = р.

Получается квадратное уравнение 2р2 - 5р - 3 = 0.

Решаем его через дискриминант.

а = 2, в = - 5, с = - 3.

D = в2 - 4ас = 52 - 4 * 2 * (-3) = 25 + 24 = 49 (кв.корень равен 7)

р1 = (5 + 7)/(2 * 2) = 12/4 = 3

р2 = (5 - 7)/(2 * 2) = (- 2)/4 = - 1/2

Возвращаемся к замене

sin2a = р. Подставляем вместо Р получившиеся корни 3 и - 1/2.

sina = 3 (такого не может быть, синус всегда меньше единицы, но больше минус единицы)

sina = - 1/2

С единичной окружности находим:

а = - П/6 + 2Пn, n - целое число

а = - 5П/6 + 2Пn, n - целое число