Алгебра: Решить тригонометрическое уравнение:

Раскрываем знак модуля:Если cosx 0, то |cosx|=cosxуравнение принимает вид: По формуле произведения синуса на косинус:тогдаПо формуле разности синусов: ⇒ ⇒ ⇒ или ⇒ ⇒ и ⇒ ⇒ и ⇒ О т в е т первого случая c учетом cosx 0: ( см. рис.1)Если cosx 0, то |cosx|= - cosxуравнение принимает вид: По формуле синуса двойного углатогда ⇒ ⇒...

Решить тригонометрическое уравнение: $\frac{sin(6x)}{sin(4x)} =\frac{cos(3x)}{|cos(x)|}$

Ответы

wEnD11 15.10.2020 15:56

Раскрываем знак модуля:

Если cosx >0, то |cosx|=cosx

уравнение принимает вид:

$\frac{sin6x}{sin4x} =\frac{cos3x}{cosx}$

$\frac{sin6x}{sin4x} -\frac{cos3x}{cosx}=0$

$\frac{sin6x\cdot cosx-cos3x\cdot sin4x}{sin4x\cdot cosx} =0$

По формуле произведения синуса на косинус:

$sin\alpha \cdot cos\beta =\frac{1}{2}(sin(\alpha +\beta )+\frac{1}{2}(sin(\alpha -\beta ))$

тогда

$\frac{\frac{1}{2}sin7x+\frac{1}{2}sin5x -\frac{1}{2}sin7x-\frac{1}{2}sinx }{sin4x\cdot cosx} =0$

$\frac{\frac{1}{2} (sin5x-sinx)}{sin4x\cdot cosx} =0$

По формуле разности синусов:

$sin\alpha -sin\beta =2sin\frac{\alpha -\beta }{2}\cdot cos\frac{\alpha +\beta }{2}$

$\frac{sin2x\cdot cos3x}{sin4x\cdot cosx} =0$ ⇒ $\left \{ {{sin2x\cdot cos3x=0} \atop {sin4x\cdot cosx\neq 0}} \right.$

sin2x=0 ⇒ $2x=\pi k, k \in Z$ ⇒ $x=\frac{\pi }{2} k, k \in Z$

или

cos3x=0 ⇒ $3x=\frac{\pi }{2} +\pi n, n \in Z$ ⇒ $x=\frac{\pi }{6} +\frac{\pi}{3} n, n \in Z$

$sin4x\neq 0$ ⇒ $4x\neq \pi m, m \in Z$ ⇒ $x\neq \frac{\pi }{4} m, m \in Z$

$cosx\neq 0$ ⇒ $x \neq \frac{\pi }{2} +\pi s, s \in Z$

О т в е т первого случая c учетом cosx >0:

$2\pi n; \pm\frac{\pi }{6} +2\pi k; n, k \in Z$ ( см. рис.1)

Если cosx <0, то |cosx|= - cosx

уравнение принимает вид:

$\frac{sin6x}{sin4x} =-\frac{cos3x}{cosx}$

$\frac{sin6x}{sin4x} +\frac{cos3x}{cosx}=0$

$\frac{sin6x\cdot cosx+cos3x\cdot sin4x}{sin4x\cdot cosx} =0$

По формуле синуса двойного угла

$sin 2\alpha =2 sin \alpha \cdot cos\alpha$

тогда

$\frac{2sin3x\cdot cos3x\cdot cosx+cos3x\cdot 4sinx\cdot cosx\cdot cos2x}{sin4x\cdot cosx} =0$

$\frac{2cos3x\cdot cosx (sin3x+2sinx\cdot cos2x)}{sin4x\cdot cosx} =0$ ⇒ $\left \{ {{cos3x\cdot cosx\cdot (sin3x+2sinx\cdot cos2x)=0} \atop {sin4x\cdot cosx\neq 0}} \right.$