Решить систему , надо lgx+lgy=2 { x²+y²=425

Посмотрите на личточке

Давайте решим эту систему шаг за шагом.

1. Во-первых, посмотрим на второе уравнение системы x² + y² = 425. Это уравнение представляет собой уравнение окружности с центром в начале координат (0,0) и радиусом √425.

2. Теперь нам нужно решить первое уравнение lgx + lgy = 2. Заметим, что здесь присутствуют логарифмы. Для упрощения решения нам нужно избавиться от логарифмов.

3. Для этого возведем оба уравнения системы в степень 10:

(x² + y²)¹/² = (√425)¹/²
(x² + y²) = 425

(10^(lgx+lgy)) = 10^2
x * y = 100

4. Теперь у нас есть два уравнения: x² + y² = 425 и x * y = 100. Нам нужно решить их совместно.

5. Давайте перепишем одно из уравнений в виде y = f(x), чтобы заменить его вторым уравнением:

y = 100 / x

6. Теперь подставим это значение y в первое уравнение:

x² + (100 / x)² = 425

7. Раскроем скобки, упростим и приведем уравнение к квадратному виду:

x² + (100² / x²) = 425
x⁴ + 10000 = 425x²
x⁴ - 425x² + 10000 = 0

8. Это квадратное уравнение относительно x². Решим его с помощью подстановки:

Пусть t = x².
Тогда уравнение примет вид: t² - 425t + 10000 = 0

9. Теперь решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-425)² - 4(1)(10000) = 180425 - 40000 = 140425

Извлекаем корень из D: √D = √140425 ≈ 374.91

10. Так как D > 0, у нас есть два действительных корня t₁ и t₂:

t₁ = (425 + 374.91) / 2 ≈ 399.95
t₂ = (425 - 374.91) / 2 ≈ 50.09

11. Найдем значения x², используя полученные значения t₁ и t₂:

x₁² ≈ 399.95, x₂² ≈ 50.09

Так как мы рассматриваем только действительные значения, получаем два варианта:
x₁ ≈ √399.95 ≈ 19.99
x₂ ≈ √50.09 ≈ 7.08

12. Теперь найдем значения y, используя второе уравнение системы:

y₁ = 100 / x₁ ≈ 100 / 19.99 ≈ 5.00
y₂ = 100 / x₂ ≈ 100 / 7.08 ≈ 14.12

13. Итак, получили следующие значения переменных x и y, являющиеся решениями нашей системы:

(x₁, y₁) ≈ (19.99, 5.00) и (x₂, y₂) ≈ (7.08, 14.12)

Таким образом, система x² + y² = 425 и lgx + lgy = 2 имеет два решения: (19.99, 5.00) и (7.08, 14.12).