Алгебра: Решить систему дифференциальных уравнений: {x` = x + 2y, {y` = 4x - y

Продифференцируем первое уравнение: Подставим в него известное выражение для :Заменим в исходной системе второе уравнение на только что полученное:Складываем уравнения:Составляем характеристическое уравнение и решаем его:Находим :Из первого уравнения системы выразим :Находим :Находим :ответ:...

Решить систему дифференциальных уравнений: {x` = x + 2y, {y` = 4x - y

Ответы

Анонимка00 05.10.2020 12:30

$\left\{\begin{array}{l}x'=x+2y\\y'=4x-y\end{array}$
Продифференцируем первое уравнение:
x''=x'+2y'

Подставим в него известное выражение для

:
$x''=x'+2(4x-y)
\\\
x''=x'+8x-2y$
Заменим в исходной системе второе уравнение на только что полученное:
$\left\{\begin{array}{l}x'=x+2y\\ x''=x'+8x-2y\end{array}$
Складываем уравнения:
x'+x''=x+x'+8x

Составляем характеристическое уравнение и решаем его:
$\lambda^2-9=0
\\
\lambda^2=9
\\\
\lambda=\pm3$
Находим

:
$x=C_1e^{3t}+C_2e^{-3t}$
Из первого уравнения системы выразим

:
$y= \dfrac{x'-x}{2}$
Находим

:
$x'=3C_1e^{3t}-3C_2e^{-3t}$
Находим

:
$y= \dfrac{3C_1e^{3t}-3C_2e^{-3t}-C_1e^{3t}-C_2e^{-3t}}{2} =
C_1e^{3t}-2C_2e^{-3t}$
ответ: $\left\{\begin{array}{l}x=C_1e^{3t}+C_2e^{-3t}\\y=C_1e^{3t}-2C_2e^{-3t}\end{array}$