Решить неравенство: (2/х)^8 ≥ 3125(1-х²)

ответ: x∈ (-∞;0)∨(0;∞)

Объяснение:

Cначало решим уравнение:

(2/х)^8 = 3125(1-х²)   ОДЗ  x≠0

Перепишем уравнение в виде:

3125*x^10-3125*x^8+2^8=0   (3125=5^5 ; 2^8=4^4)

5^5*x^10 -5^5*x^8 +4^4=0  

4 *5^5/4 *x^10 -5*5^4 *x^8 +4^4=0 (поделим обе части уравнения на 4^4)

4* ( (5/4)^5 *x^10) -5* ( (5/4)^4*x^8) +1=0

Cделаем замену:   5x^2/4=t>0

4t^5-5t^4+1=0

(4t^5-4) - (5t^4-5)=0 (применим формулу разности степеней  t^n-1^n)

4*(t-1)*(t^4+t^3+t^2+t) -5*(t-1)*(t^3+t^2+t+1) =0

(t-1)* ( 4*(t^4+t^3+t^2+t) -5*(t^3+t^2+t+1) )=0

(t-1)* (4t^4-t^3-t^2-t-1)=0

4t^4-t^3-t^2-1=4t^4-4 - ( (t^3-1) +(t^2-1)  +(t-1) )

(t-1)*( 4*(t^3+t^2+t+1) -(t^2+t+1)  -(t+1) -1)=(t-1)*(4t^3+3t^2+2t+1)

Итак,уравнение принимает вид:

(t-1)^2*(4t^3+3t^2+2t+1)=0

Нужно решить неравенство: (2/х)^8 ≥ 3125(1-х²)

Которое сводится к неравенству:

(t-1)^2*(4t^3+3t^2+2t+1)>=0

тк  t>0 ,  4t^3+3t^2+2t+1>0 ,  (t-1)^2>0.

Тогда неравенство :

(t-1)^2*(4t^3+3t^2+2t+1)>=0 (верно  при любых t, кроме  t=0  cогласно ОДЗ)

А значит  верно и для любого x ,кроме x=0

ответ: x∈ (-∞;0)∨(0;∞)