Решить . многочлен четвертой степени с положительным старшим коэффициентом имеет четыре корня, образующих арифметическую прогрессию с разностью 1. найдите квадрат расстояния между точками минимума этого многочлена.

Наш многочлен имеет вид

Пусть меньший его корень равен . Так как корни образуют арифметичекую прогрессию, можем записать:

Многочлен раскладывается на линейный множители следующим образом:

Напрашивается замена . Тогда

Нам нужно найти минимумы этой функции, поэтому дифференцируем:

Теперь требуется найти корни этого многочлена. Используя теорему о рациональных корнях многочлена можно найти корень

Согласно теореме Безу, должен делиться на . Разложим на множители, чтобы найти остальные корни:

Решив квадратное уравнение , найдем корни

Расположив корни

на числовой прямой и использовав метод интервалов, узнаем, что производная меняет знак с минуса на плюс в точках , это и есть точки минимума. Переходя обратно к многочлену от x, получаем точки

Квадрат расстояния между ними: