1. Алгебра
  2. Решить коши для дифференциального

Решить коши для дифференциального уравнения, допускающего понижения порядка.

whitepanda1 whitepanda1    2   20.12.2019 06:52    0

Ответы
fil3853tima fil3853tima  10.10.2020 21:59

yy''+(y')^2=0

Замена:

y'=p\\y''=\dfrac{dy'}{dx}=\dfrac{dy}{dx}\dfrac{dy'}{dy}=y'\dfrac{dy'}{dy}=p\dfrac{dp}{dy}

Получаем уравнение:

y\cdot p\dfrac{dp}{dy}+p^2=0\\\dfrac{pdp}{p^2}=-\dfrac{dy}{y}\\\dfrac{dp}{p}=-\dfrac{dy}{y}\\\\\ln p=-\ln y+\ln C\\\ln p=\ln \dfrac{C}{y} \\p=\dfrac{C}{y}

Обратная замена:

y'=\dfrac{C}{y}\\\dfrac{dy}{dx} =\dfrac{C}{y}\\ydy=Cdx\\\frac{y^2}{2} =Cx+C_0\\y^2=2Cx+2C_0\\y=\pm\sqrt{2Cx+2C_0}

Для удобства, переобозначив C_1=2C и C_2=2C_0, получим:

y=\pm\sqrt{C_1x+C_2}

Рассмотрим первое условие задачи Коши:

y(0)=1

Заметим, что случай с функцией y=-\sqrt{C_1x+C_2} не удовлетворяет условию задачи, так как значения, даваемые этой функцией неположительные, а по условию задачи y(0)=1.

Для другой функции имеем:

\sqrt{C_1\cdot0+C_2}=1\\\sqrt{C_2}=1\\\Rightarrow C_2=1

Рассмотрим второе условие задачи Коши:

y'(0)=1

Предварительно найдем производную функции:

y=\sqrt{C_1x+C_2}\\y'=\dfrac{1}{2\sqrt{C_1x+C_2}} \cdot(C_1x+C_2)'=\dfrac{C_1}{2\sqrt{C_1x+C_2}}

Подставляем известные значения:

\dfrac{C_1}{2\sqrt{C_1\cdot0+1}}=1\\\dfrac{C_1}{2\sqrt{1}}=1\\\dfrac{C_1}{2}=1\\\Rightarrow C_1=2

Таким образом частное решение имеет вид y=\sqrt{2x+1}

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Алгебра
Polika127 Polika127  27.05.2019 17:30
Пусть v, r и g соответственно число вершин, ребер и граней усеченной пирамиды. укажите значение v-r+g, если r=33...
helpmepl2 helpmepl2  27.05.2019 17:30
)1.а) найдите вероятность того, что при броске трёх симметричных монет два раза выпадет орёл, а один раз решка; б) в случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. найдите...
lehfrb lehfrb  27.05.2019 17:30
Собъяснением! 1) дети шпионов перехватили шифровку 12342562756278.в нем разные цифры обозначают разные буквы, а одинаковые цифры -одинаковые буквы. у них получились варианты «думай...
hers25 hers25  27.05.2019 17:30
Работают 4 трактора. вероятность того, что во время роботы ремонта требует первый трактор равна 0,15, второй - 0,2, третий - 0,1, четвертый - 0,3. найти вероятность того, что ремонта:...
tri0 tri0  27.05.2019 17:30
Вкниге 1000 страниц. печатные ошибки встречаются на каждой странице с вероятностью 0,002. найти вероятность того, что ошибки встретятся: 1) больше чем на трех страницах; 2) хотя...
Ответит7275 Ответит7275  27.05.2019 17:30
Вероятность того, что деталь будет бракованой равна 0,004. найти вероятность того, что в партии с 500 деталей бракованых будет: 1) менее двух; 2) более трех....
Васька11114322 Васька11114322  27.05.2019 17:30
Вероятность того, что деталь первого сорта равна 0,8. сделано 225 деталей. найти вероятность того, что среди них 175 деталей первого сорта....
носок455 носок455  27.05.2019 17:30
Отдел технического контроля проверяет партию деталей. вероятность того, что деталь стандартная равна 0,25. найти вероятность того, что с 300 проверенных деталей стандартных будет...
sofiaivkina84 sofiaivkina84  27.05.2019 17:30
Нужно решить неравенство а) 2х в квадрате - 4х +2 больше или равно 0...
Marketing23 Marketing23  27.05.2019 17:30
A) x(a+b)+y(a+b)= б) (a+b)a-b(a+b)=...

Популярные вопросы