1. Алгебра
  2. решить это уравнение.

sin^8(x)+cos^8(x)=\frac{17}{16}cos^2(2x); решить это уравнение. ответ: \frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{4}n, n Є Z;

ajshshdj ajshshdj    2   02.08.2020 15:46    1

Ответы
ohcarl ohcarl  15.10.2020 15:38

\sin^{8}x + \cos^{8}x = \dfrac{17}{16} \cos^{2}2x

(\sin^{2}x)^{4} + (\cos^{2}x)^{4} = \dfrac{17}{16} \cos^{2}2x

\left(\dfrac{1 - \cos 2x}{2} \right)^{4} + \left(\dfrac{1 + \cos 2x}{2} \right)^{4} = \dfrac{17}{16} \cos^{2}2x \ \ \ | \cdot 16

(1 - \cos 2x)^{4} + (1 + \cos 2x)^{4} = 17 \cos^{2}2x

(1) \ (1 - \cos 2x)^{4} = 1 - 4\cos 2x + 6\cos^{2} 2x - 4\cos^{3}2x + \cos^{4}2x\\(2) \ (1 + \cos 2x)^{4} = 1 + 4\cos 2x + 6\cos^{2} 2x + 4\cos^{3}2x + \cos^{4}2x

Складываем (1) и (2) выражения и получаем:

2 + 12 \cos^{2} 2x + 2\cos^{4}2x = 17\cos^{2}2x

2\cos^{4}2x - 5\cos^{2}2x + 2 = 0

Замена: \cos^{2} 2x = t, \ t \in [0; \ 1]

Характеристическое уравнение:

2t^{2} - 5t + 2 = 0

D = (-5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9

t_{1} = \dfrac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \dfrac{5 + 3}{4} = 2 1 — не удовлетворяет условию

t_{2} = \dfrac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \dfrac{5 - 3}{4} = \dfrac{1}{2}

Обратная замена:

\cos^{2} 2x = \dfrac{1}{2}

\displaystyle \left [ {{\cos 2x = \sqrt{\dfrac{1}{2} } \ \ } \atop {\cos 2x = -\sqrt{\dfrac{1}{2}}} \right.

\displaystyle \left [ {{\cos 2x = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \ \ \ \ \ (1) } \atop {\cos 2x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \ \ \ (2)} \right.

Решим (1) уравнение:

\cos 2x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

2x = \pm \arccos \dfrac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n, \ n \in Z

2x = \pm \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n, \ n \in Z

x = \pm \dfrac{\pi}{8} + \pi n , \ n \in Z

Решим (2) уравнение:

\cos 2x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}

2x = \pm \arccos \left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n, \ n \in Z

2x = \pm \left(\pi - \arccos \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2 \pi n, \ n \in Z

2x = \pm \left(\pi - \dfrac{\pi}{4} \right) + 2 \pi n, \ n \in Z

2x = \pm \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n, \ n \in Z

x = \pm \dfrac{3\pi}{8} + \pi n , \ n \in Z

Изобразим полученные ответы на единичной окружности и найдем общее решение.

Из рисунка видим, что через каждые \dfrac{\pi}{4} получаем ответ.

Таким образом, общий ответ:

x = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi n}{4}, \ n \in Z

ответ: x = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi n}{4}, \ n \in Z


решить это уравнение. ответ:
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Алгебра
Karolinka22 Karolinka22  13.09.2019 11:10
Найдите 19-ый член арифметической прогрессии (bn), если её разность равна 6 и b1=-18...
looolll2k17 looolll2k17  13.09.2019 11:10
Найдите решение неравенства: 2sin^x-sinx =0...
maxjk19 maxjk19  13.09.2019 11:10
Используя нечётные числа до 33 получите 40 только вы должны использовать числа 7 раз заранее...
Карина111111111444 Карина111111111444  17.02.2022 05:54
График функции у=2х²-(а+2)х+а пересекает ось ох в точках х1 и х2....
яна1762 яна1762  17.02.2022 05:44
СУММАТИВНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ЗА РАЗДЕЛЫ «КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ», А-8, постройте график функции у= -2х²+4х-2 и найти координаты вершины параболы )...
dawavika dawavika  17.02.2022 05:31
якщо поділити число а на число в то неповна частка дорівнюватиме 6 а остача 4 Задати формулою залежність а від в...
dghtf dghtf  17.02.2022 05:29
Дана функция:y=x2-4х+2 А) запишите координаты вершины параболы; Б) определите, в каких четвертях находится график функции С) запишите ось симметрии параболы; Д) найдите...
fizik24 fizik24  17.02.2022 05:28
2 задание: Построить график функции y = 6х²+ 4х – 10. По графику определите точки, которые лежат на оси Ох....
kuzyaevkuzyaev2 kuzyaevkuzyaev2  27.08.2019 14:20
Сократите дробь: 1)x²y xy ² 2)-amk -bkm...
akbotawka02 akbotawka02  27.08.2019 14:10
1) квадрат числа 1996 равен 2)значение выражения a³+a²b-ab²-b³ при а=11, 6; b= -1,6 равно a)1320 б) 13,2·132 в)1420 г)1220 д)14,2·142 3)если x-y=4 , а xy=12 , то...

Популярные вопросы