РЕШИТЬ Доказать методом встречных включений , что для произвольных множеств А, В и С справедливо равенство;

Nailevnaa 1 23.01.2022 21:32 2

Question

Алгебра: РЕШИТЬ Доказать методом встречных включений , что для произвольных множеств А, В и С справедливо равенство;

Nailevnaa · Answer

Первое множество состоит из только тех , которые принадлежат ровно одному из множеств или . Поэтому всякий из этого множества принадлежит либо только (то есть множеству $A\cap \overline{B}$ ), либо только (то есть множеству $B\cap\overline{A}$ ). Следовательно, $(A\cup B)\backslash (A\cap B) \subseteq (A\cap \overline{B})\cup (B\cap \overline{A})$ .

Второе множество состоит из тех , для которых либо $x\in A\cap \overline{B}$ , либо $x\in B\cap\overline{A}$ . Отсюда следует, что $x\in A\cup B$ . Если при этом $x\in A\cap B$ , то он не принадлежит ни одному из указанных множеств, противоречие, потому $x\notin A\cap B$ , значит, $x\in (A\cup B)\backslash (A\cap B)\Rightarrow (A\cap \overline{B})\cup (B\cap \overline{A})\subseteq (A\cup B)\backslash (A\cap B)$ , откуда $(A\cap \overline{B})\cup (B\cap \overline{A})= (A\cup B)\backslash (A\cap B)$ .