Решить! для линейного оператора f известно, что f 5 11 и f 4 = -16 4 = 25 -3 -11 . найдите матрицу этого оператора. в ответе укажите сумму элементов матрицы 2 . известно, что в некотором ортонормированном базисе f х1 х1+7х2+8х3 х2
=-5х1-х2+8х3 х3 -2х1-4х2+х3 . найдите матрицу оператора f* сопряженного для f. в ответе укажите сумму 3-й строки. 3. найдите собственные значения и собственные векторы линейного оператора f, если известна его матрица в
стандартном базисе f= 12 24 -6 38. первые координаты собственных векторов приравняйте к 1. в ответе укажите сумму их вторых координат. 4. методом лангранжа квадратичную форму q=x12 +4x1x2+4x1x3+29x2^2+38x2x3+17x3^2к нормальному виду. в
ответе укажите сумму коэффициентов нормального вида.
1) Матрица линейного оператора выглядит следующим образом
α₁₁ α₁₂
α₂₁ α₂₂
Составим соответствующие уравнения после действия этого оператора
5α₁₁+4α₁₂=11
5α₂₁+4α₂₂=25
4α₁₁-3α₁₂=-16
4α₂₁-3α₂₂=-11
Решая систему находим элемениы матрицы
α₁₁=-1 α₁₂=4
α₂₁= 1 α₂₂=5
ответ: 9
2) Составим матрицу оператора
1 7 8
-5 -1 8
-2 -4 1
Транспонируем ее
1 -5 -2
7 -1 -4
8 8 1
ответ: 17
3) Решим соответствующее характеристическое уравнение
Для всех собственных значений найдем собственные вектора
-x₁+3x₂=0
x₁=1 x₂=1/3
-3x₁+4x₂=0
x₁=1 x₂=3/4
ответ: 13/12
4) x₁²+4x₁x₂+4x₁x₃+29x₂²+38x₂x₃+17x₃²=(x₁+2x₂+2x₃)²+(5x₂+3x₃)²+4x₃²=a₁²+a₂²+4a³₂
ответ: 6