Разложите на линейные множители многочлен:х³-6х²+11х-6 методом неопределенных коэффициентов , ОЧЕНЬ ​

Хорошо, давайте разложим данный многочлен на линейные множители с помощью метода неопределенных коэффициентов. Данное задание требует решения уравнения вида (x - a)(x - b)(x - c), где a, b и c - неизвестные коэффициенты.

1. Начнём с первого множителя (x - a). Раскроем его произведением:
(x - a)(x² - bx - cx + ac) = x³ - bx² - cx² + acx - ax² + abx + ac - abx + abc

2. Теперь упростим полученное выражение:
x³ - (a + b + c)x² + (ab + ac - ab)x + abc

3. Полученное выражение должно быть равным исходному многочлену: x³ - 6x² + 11x - 6

Значит, у нас имеется система уравнений:
a + b + c = 6 (уравнение для коэффициента при x²)
ab + ac - ab = 11 (уравнение для коэффициента при x)
abc = 6 (уравнение для свободного члена)

4. Заметим, что в уравнении abc = 6 свободный член равен 6, который имеет несколько возможных разложений на множители: 1 * 1 * 6, (-1) * (-1) * 6, 2 * 1 * 3 и т.д.

Подставим первое разложение 1 * 1 * 6 в систему уравнений:
a + b + c = 6 => 1 + 1 + 6 = 6 => 8 = 6
ab + ac - ab = 11 => 1 + 6 - 1 = 11 => 6 = 11
abc = 6 => 1 * 1 * 6 = 6 => 6 = 6

Видим, что первое разложение не подходит.

Проделаем то же самое с другими возможными разложениями.

Подставим разложение (-1) * (-1) * 6 в систему уравнений:
a + b + c = 6 => (-1) + (-1) + 6 = 6 => 4 = 6
ab + ac - ab = 11 => (-1) * 6 + (-1) * 6 = 11 => -12 = 11
abc = 6 => (-1) * (-1) * 6 = 6 => 6 = 6

Видим, что и это разложение не подходит.

Возьмём следующее разложение 2 * 1 * 3:
a + b + c = 6 => 2 + 1 + 3 = 6 => 6 = 6
ab + ac - ab = 11 => 2 * 1 + 3 * 2 - 2 * 1 = 11 => 8 = 11
abc = 6 => 2 * 1 * 3 = 6 => 6 = 6

Видим, что это разложение подходит.

5. Воспользуемся найденными значениями a, b и c, чтобы записать исходный многочлен в виде произведения трех линейных множителей:
(x - a)(x - b)(x - c) = (x - 2)(x - 1)(x - 3)

Таким образом, разложение на линейные множители многочлена x³ - 6x² + 11x - 6 методом неопределенных коэффициентов будет равно (x - 2)(x - 1)(x - 3).