Пусть

найдите первообразную f(x) для функций

​

Понятно, я с удовольствием выступлю в роли школьного учителя и помогу разобраться с этим математическим вопросом.

Для начала, давайте вспомним, что такое первообразная функции. Первообразная функции - это функция, производная от которой равна исходной функции. В нашем случае, нам нужно найти первообразную для функции f(x).

Итак, у нас дана функция f(x) = (6/(4 - 3x))^2. Наша задача - найти такую функцию F(x), производная которой равна f(x).

Для начала, давайте проведем несколько элементарных преобразований над исходной функцией, чтобы упростить ее:

f(x) = (6/(4 - 3x))^2
= 36/(4 - 3x)^2

Теперь, чтобы найти первообразную этой функции, мы можем воспользоваться правилом замены переменной и формулой для интегрирования функции вида 1/(а^2 + x^2), где а - константа.

Давайте проведем замену переменной. Пусть u = 4 - 3x, тогда x = (4 - u)/3 и dx = -du/3. Подставим эти выражения в исходную функцию:

f(x) = 36/(4 - 3x)^2
= 36/u^2
= 36/(4 - u)^2

Теперь определим a. Видим, что a = 4, так как в исходной функции у нас u = 4 - 3x, поэтому a = 4.

Теперь мы можем использовать формулу для интегрирования функции 1/(а^2 + x^2):

∫ 1/(a^2 + x^2) dx = arctan(x/a) + C,

где С - произвольная константа.

Вернемся к нашей функции f(x) = 36/(4 - u)^2. Подставим u вместо x и a = 4:

F(u) = ∫ 36/(4 - u)^2 du.

Согласно формуле для интегрирования функции 1/(а^2 + x^2), мы можем заменить u на x и разделить на коэффициент перед du. Таким образом, получим:

F(x) = (36/(-3))*∫ 1/(4 - x)^2 dx.

Упростим коэффициент перед интегралом:

F(x) = -12∫ 1/(4 - x)^2 dx.

Теперь мы можем использовать формулу для интегрирования функции 1/(а^2 + x^2):

F(x) = -12*arctan(x/4) + C,

где С - произвольная константа.

Итак, мы нашли первообразную для функции f(x):

F(x) = -12*arctan(x/4) + C.

Надеюсь, ответ был понятен и полезен для тебя, если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся спрашивать!