Пусть касательные, проведенные к графику функции y=(x+1)^-3 в точках с абсциссами х1 и х2, параллельны. Тогда если х1=3, то абсцисса х2 равна

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо найти уравнение касательной к графику функции y=(x+1)^-3 в точке с абсциссой х1=3.

Для начала, найдем производную функции y=(x+1)^-3. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции, где функция f(x)=(x+1)^-3 представлена в виде f(x)=u^(-n), где u=x+1, n=3. Найдем производную этой функции:

f'(x) = (-n)(u^(-n-1))(u') = (-3)((x+1)^-4)(1) = -3/(x+1)^4

Теперь, чтобы найти уравнение касательной, воспользуемся формулой:

y - y1 = f'(x1)(x - x1)

где (x1, y1) - координаты точки касания, а f'(x1) - значение производной в этой точке.

Из условия задачи мы знаем, что х1=3 и y1=f(3), найдем их значения:

x1 = 3
y1 = f(3) = (3+1)^-3 = (4)^-3 = 1/64

Подставим все значения в формулу и упростим:

y - 1/64 = (-3/(3+1)^4)(x - 3)

y - 1/64 = -3/256(x - 3)

Если касательные проведены к графику функции y=(x+1)^-3 в точках с абсциссами х1 и х2, параллельны, то их производные должны быть равны. То есть, производная в точке х1 должна быть равна производной в точке х2:

-3/(х1+1)^4 = -3/(х2+1)^4

Подставляем значение х1=3:

-3/(3+1)^4 = -3/(х2+1)^4

-3/4^4 = -3/(х2+1)^4

-3/256 = -3/(х2+1)^4

Очевидно, что числители и знаменатели равны, поэтому уравнение преобразуется к виду:

256 = (х2+1)^4

Для решения этого уравнения возьмем корни четвертой степени:

х2+1 = ±(256)^(1/4)

х2+1 = ±4

Избавимся от единицы:

х2 = -1 ± 4

Окончательный ответ:

Если х1=3, то абсцисса х2 может быть равна -5 или 3.