Пусть d1, - все делители числа a. докажите, что если d1+d2++dn=2a, то 1/d1+1/d2++1/dn=2

Обозначим сумму делителей как S. Отсортируем все делители числа a по возрастанию. Тогда произведение крайних делителей будет давать само число a. Это и используем. Сгруппируем слагаемые (1/d1+1/dn)+(1/d2+d_(n-1))+...
1) В случае, если количество делителей четно, то сгруппируются все слагаемые на n/2 пар.
1/d1+1/dn=(d1+dn)/(d1*dn)=(d1+dn)/a
1/d2+1/d_(n-1)=(d2+d_(n-1))/(d2*d_(n-1))=(d2+d_(n-1))/a
...
В итоге сумма всех слагаемых равна (d1+dn+d2+d_(n-1)+...)/a=S/a
2) В случае, если количество делителей нечетно, то получится (n-1)/2 пар и дробь 1/d_((n+1)/2).
1/d_((n+1)/2)=d_((n+1)/2)/(d_((n+1)/2))^2=d_((n+1)/2)/a.
Поэтому сумма дробей, включая эту, буде также равна S/a.
Раз S=2a, то S/a=2, ч.т.д.