При каком значении r выполняется равенство:
5 в r степени + 2 / 5 в 5 степени = 125 ?

Для решения данного уравнения, нам необходимо найти значение параметра r, при котором выполняется равенство:

5^r + 2 / 5^5 = 125

Давайте решим его пошагово.

Шаг 1: Приведение обоих частей уравнения к общему знаменателю.
У нас имеется сложная дробь в левой части. Чтобы облегчить решение, давайте приведем 125 к общему знаменателю, который равен 5^5, и сложим левую и правую части уравнения.

5^r + 2 / 5^5 = 125 / 1

Поскольку 125 = 5^3, у нас получается:

5^r + 2 / 5^5 = 5^3 / 1

Шаг 2: Упрощение правой части уравнения.
5^3 / 1 можно упростить, вычислив значение 5^3. Это равно 125. Таким образом, у нас получается:

5^r + 2 / 5^5 = 125

Шаг 3: Упрощение левой части уравнения.
У нас все еще есть сложное выражение в левой части уравнения, 5^r + 2 / 5^5. Нам нужно привести его к одному виду.

Чтобы сложить дробь с основанием 5 и основанием 5^5, мы можем использовать правило действий с дробями.

Сначала умножим числитель второй дроби на 5^r. Мы получим:

5^r + (2 * 5^r) / 5^5 = 125

Упростим это выражение:

5^r + (2 * 5^r) / 3125 = 125

Шаг 4: Упрощение выражения во второй дроби.
Мы можем упростить 2 * 5^r, умножив числитель на 2:

5^r + (10^r) / 3125 = 125

Шаг 5: Приведение обеих частей уравнения к общему знаменателю.
Мы можем привести обе части уравнения к общему знаменателю, умножив числитель первой дроби на 3125:

3125 * 5^r + 10^r = 125 * 3125

Шаг 6: Упрощение правой части уравнения.
Мы можем упростить значение 125 * 3125, вычислив его. Оно равно 390625.

Таким образом, у нас получается:

3125 * 5^r + 10^r = 390625

Шаг 7: Приведение левой части уравнения к общему знаменателю.
У нас все еще есть сложное выражение в левой части уравнения. Чтобы привести его к одному виду, мы можем вынести общий множитель, который равен 3125.

3125 * 5^r + 3125 * 2^r = 390625

Теперь у нас есть уравнение, состоящее из двух слагаемых, в которых основание чисел одинаково - 5^r.

Шаг 8: Упрощение левой части уравнения.

Мы можем сложить два слагаемых в левой части уравнения:

3125 * 5^r + 3125 * 2^r = 390625

Выражение в левой части уравнения имеет общий множитель 3125. Вынося его за скобки, получаем:

3125 * (5^r + 2^r) = 390625

Шаг 9: Деление обоих частей уравнения на 3125.
Мы можем разделить обе части уравнения на 3125, чтобы избавиться от общего множителя:

5^r + 2^r = 125

Теперь у нас получилось уравнение, в котором встречаются только степени чисел.

Шаг 10: Поиск решения.
Мы можем решить это уравнение, определив значения параметра r, при которых выполняется равенство:

5^r + 2^r = 125

Один из способов решения - перебор возможных значений. Мы можем попробовать различные значения r и проверить, при каком из них выполняется равенство.

Давайте проверим несколько значений:

При r = 2:
5^2 + 2^2 = 25 + 4 = 29 not equal to 125

При r = 3:
5^3 + 2^3 = 125 + 8 = 133 not equal to 125

При r = 4:
5^4 + 2^4 = 625 + 16 = 641 not equal to 125

Мы видим, что при рассмотренных значениях r равенство не выполняется.

Шаг 11: Ответ на вопрос.
На данный момент мы не нашли значение r, при котором выполняется равенство 5^r + 2^r = 125. Возможно, его нет. В этом случае, ответом на заданное уравнение будет "равенство не имеет решений".