При каком значении параметра p система уравнений x^2+y^2=1 y+x^2=p имеет одно решение?

Ответы

Egorka12351727378 23.06.2020 18:03

$\left\{\begin{array}{l} x^2+y^2=1 \\ y+x^2=p \end{array}$
Заметим, что в системе х встречается только во второй степени. Поэтому, если некоторая пара (х; у) - решение системы, то и пара (-х; у) - решение системы. Так как по заданию система должна иметь только одно решение, то необходимо выполнение условия х=-х. Это достигается только при х=0.
Подставляя значение х=0 в систему, получим:
$\left\{\begin{array}{l} y^2=1 \\ y=p \end{array} \Rightarrw \left\{\begin{array}{l} y=1; \ y=-1 \\ y=p \end{array}$
Проверим, удовлетворяют ли значения р=1 и р=-1 условию.
При р=1:
$\left\{\begin{array}{l} x^2+y^2=1 \\ x^2+y=1 \end{array}$
$y^2-y=0
\\\
y(y-1)=0
\\\
y=0\Rightarrow x^2=1; \ x=\pm1
\\\
y=1\Rightarrow x^2=0; \ x=0$
Данный случай не подходит, так как система имеет три решения.
При р=-1:
$\left\{\begin{array}{l} x^2+y^2=1 \\ x^2+y=-1 \end{array}$
$y^2-y=2 \\\ 
y^2-y-2=0
\\\
(y+1)(y-2)=0
\\\
y=-1\Rightarrow x^2=0; \ x=0
\\\
y=2\Rightarrow x^2 \neq -3\ \textless \ 0$
Данный случай подходит, система действительно имеет одно решение.
Кроме того, можно было построить графики уравнений:
x^2+y^2=1

- окружность с центром в точке (0; 0) и радиусом 1
y=-x^2+p

- стандартная парабола ветвями вниз с вершиной в точке
(0; р). Двигая эту параболу вдоль оси ординат, можно убедиться, что единственное пересечение с окружностью происходит лишь при р=-1.
ответ: р=-1

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

Другие вопросы по теме Алгебра