При каком наименьшем целом значении k уравнение 5 x^2+7x–k = 0 имеет два различных корня?

Чтобы определить при каком наименьшем целом значении k уравнение 5x^2 + 7x - k = 0 имеет два различных корня, мы должны использовать дискриминант, который определяется как D = b^2 - 4ac для квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0.

В данном случае коэффициент a = 5, коэффициент b = 7 и коэффициент c = -k. Подставив эти значения в дискриминант, мы получим D = 7^2 - 4(5)(-k).

Решим это выражение для минимального значения k, при котором D будет положительным. Используем неравенство D > 0 и решим его:

7^2 - 4(5)(-k) > 0
49 + 20k > 0
20k > -49
k > -49/20

Таким образом, чтобы уравнение имело два различных корня, минимальное значение k должно быть больше -49/20.

Однако, когда мы говорим о целых значениях для k, мы округляем значение -49/20 до наименьшего целого, которое больше этого числа. В данном случае это -2.

Поэтому, при k = -2 уравнение 5x^2 + 7x - (-2) = 0 будет иметь два различных корня.

Обоснование:
Уравнение вида ax^2 + bx + c = 0 имеет два различных корня, когда дискриминант D больше нуля. Дискриминант D = b^2 - 4ac представляет собой выражение, которое определяет количество корней и их природу: D > 0 - два различных корня, D = 0 - два одинаковых корня, D < 0 - нет корней. В данном случае мы ищем наименьшее целое значение k, при котором D > 0, то есть имеется два различных корня. Чтобы найти это значение, мы проводим ряд математических операций и применяем неравенства.