При каких значениях параметра a сумма квадратов двух различных действительных корней уравнения ax^2−5x+2=0 меньше 21?

ответ: a ∈ (-∞; -25/21) ∪ (1; 25/8).

Объяснение:

Заметим, что (т.к. при а = 0 данное уравнение преобразуется в линейный вид, что само собой имеет одно решение).

D = 25 - 8a

Квадратное уравнение имеет два различные корня, если D>0

25 - 8a > 0    ⇔    a < 25/8

Воспользуемся теоремой Виета:

Пусть 1/a = t, тогда получаем квадратное уравнение 25t² - 4t - 21 = 0

D = 16 + 2100 = 2116;    √D = 46

t₁ = -0.84

t₂ = 1

Обратная замена:

1/a = -0.84    ⇔     a = -25/21

1/a = 1     ⇔    a=1

---------(-25/21)++++++++(0)+++++++++(1)------------

a ∈ (-∞; -25/21) ∪ (1;+∞)

С учетом существования корней, получим a ∈ (-∞; -25/21) ∪ (1; 25/8).