При каких а ровно один корень уравнения x^2 - (2 a + 1) x - a + 6 = 0 принадлежит отрезку [0; 4]?

x² - (2 a + 1) x - a + 6 = 0
х²-2ах-х-а+6=0
х²-х+6=а·(2х+1)
а=(х²-х+6)/(2x+1)

Строим график функции у=(х²-х+6)/(2x+1)  и прямой у=а

(см. рисунок)

Функция у=(х²-х+6)/(2x+1)  определена при х∈(-∞;-1/2)U(-1/2;+∞).

y`=((2x-1)·(2x+1)-2·(x²-x+6))/(2x+1)²

y`=0

2x²+2x-13=0

x=-1± (3√3/2)

x=-1- (3√3/2)∉[0;4];    x= -1+ (3√3/2)∈[0;4]

Найдем а, соответствующее  х=-1+ (3√3/2)

а=((-1+(3√3/2))²-(-1+(3√3/2))+6)/3√3

а=(3√3-2)/2 

О т в е т. при а=(3√3-2)/2  и 2<a≤6.

Второй

1) Если дискриминант квадратного уравнения  равен 0, то уравнение имеет один корень. 

D=(2a+1)²-4·(-a+6)=4a²+8a-23

a=(-8±12√3)/8

При а=(-2-3√3)/2  уравнение имеет корень х=(-1-3√3)/2∉[0;4]

При а=(-2+3√3)/2  уравнение имеет корень х=(-1+3√3)/2∈[0;4]

2) Если дискриминант квадратного трехчлена положителен, то уравнение имеет два корня x₁  и  x₂ (  х₁<x₂)

Для  выполнения условия задачи, потребуем, чтобы х₁∈(0;4), х₂∉(0;4)

или  х₂∈(0;4), х₁∉(0;4).

Это условие требует выполнения совокупности двух систем неравенств:

{f(0)<0

{f(4)>0

или

{f(0)>0

{f(4)<0

что равносильно неравенству f(0)·f(4)<0

f(x)=x²-(2a+1)x-a+6

(-a+6)·(18-9a)<0⇒   a∈(2;6)

При х=0   получаем, что a=6 

При а=6  уравнение имеет вид х²-13х=0   и х=0 - единственный корень, принадлежащий отрезку [0;4]

При а=2 уравнение имеет вид х²-5х+4=0 уравнение имеет два корня х=1 и х=4, принадлежащих отрезку [0;4]

О т в е т. а∈{(3√3-2)/2}U(2;6].