Постройте график функций y=x^4-25x^2+144/(x+3)(x-4) и определите при каких значениях параметра a прямая y=a имеет с графиком ровно одну общую точку ,

Сначала сокращаем функцию и находим те точки,которые мы обязаны выколоть:

Раскладываем числитель с заменой a=x:

Обратная замена: 

Итак,числитель имеет вид (x-4)(x+4)(x-3)(x+3).

Раскладываем знаменатель и выясняем,при каких значениях он равен нулю:

Знаменатель имеет вид (x-3)(x+4). На будущем графике мы обязаны выколоть точки при x=3 и x=-4.

Сокращаем функцию: 

Строим график функции y=x-x-12 с выколотыми точками (на рисунке это парабола синего цвета.Точки выколоты).
Мы обязаны знать и ординаты этих точек: При x=3 y=-6,при x=-4 y=8.
Определим функции прямых,которые будут иметь с графиком одну общую точку:
.
Прямые y=-1.25x+3(на рисунке красным цветом) и y=-3x+3(жлтым) имеют с данным графиком одну общую точку. При остальных значениях k семейство прямых y=kx+3 имеет две общие точки.

P.S.: Надеюсь,вс понятно.

Для начала, построим график функции y=x^4-25x^2+144/(x+3)(x-4).

1. Найдем точки разрыва функции, то есть значения x, при которых знаменатель равен нулю. Из уравнения (x+3)(x-4)=0 получаем две точки разрыва: x=-3 и x=4.

2. Установим поведение функции в окрестности точек разрыва. Для этого рассмотрим знаки множителей (x+3) и (x-4) в интервалах между точками разрыва и за их пределами.

2.1. В интервале (-∞,-3) оба множителя отрицательны, поэтому функция будет положительной.
2.2. В интервале (-3,4) множитель (x+3) положителен, а (x-4) отрицателен. Таким образом, функция будет отрицательной.
2.3. В интервале (4,+∞) оба множителя положительны, поэтому функция снова будет положительной.

3. Теперь найдем точки, в которых функция обращается в ноль. Для этого приравняем выражение y=x^4-25x^2+144/(x+3)(x-4) к нулю:

x^4-25x^2+144/(x+3)(x-4) = 0.

4. Решим полученное уравнение. Для этого умножим обе части на (x+3)(x-4) и перепишем его в виде:

x^4-25x^2+144=0.

5. Заметим, что данное уравнение является квадратным по отношению к переменной x^2. Проведем замену переменной, обозначив x^2 = t. Получим:

t^2 - 25t + 144 = 0.

6. Решим полученное квадратное уравнение относительно t, используя формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4*1*144 = 625 - 576 = 49.

7. Поскольку дискриминант положительный, имеем два корня квадратного уравнения:

t1 = (25 + √D)/2 = (25 + 7)/2 = 16,
t2 = (25 - √D)/2 = (25 - 7)/2 = 9.

8. Возвращаемся к переменной x^2:

x^2 = 16, x^2 = 9.

9. Извлекаем квадратный корень и получаем значения x:

x1 = √16 = 4, x2 = -√16 = -4,
x3 = √9 = 3, x4 = -√9 = -3.

10. Получили 4 корня: x1=4, x2=-4, x3=3, x4=-3. Подставим их в исходное уравнение, чтобы найти соответствующие значения y:

y1 = 4^4-25*4^2+144/(4+3)(4-4) = 256 - 400 + 144/(7-0)(4-4) = -144,
y2 = (-4)^4-25*(-4)^2+144/((-4)+3)(-4-4) = 256 - 400 + 144/(-1)(-8) = -144,
y3 = 3^4-25*3^2+144/(3+3)(3-4) = 81 - 225 + 144/(6-0)(3-4) = -144,
y4 = (-3)^4-25*(-3)^2+144/((-3)+3)((-3)-4) = 81 - 225 + 144/(0)(-7) = -144.

11. Таким образом, у нас имеется одна общая точка с графиком функции y=x^4-25x^2+144/(x+3)(x-4) для любого значения параметра a при условии, что a=-144.

Ответ: Для прямой y=a, где a=-144, с графиком функции y=x^4-25x^2+144/(x+3)(x-4) имеется ровно одна общая точка.