Построите график функции y=x^2+13x-3|x+7|+42 и определите при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки

Хорошо, давайте разберемся с этим вопросом step by step.

1. Сначала нужно построить график функции y=x^2+13x-3|x+7|+42.

Для начала определим, как меняется функция в зависимости от значения x.

- Если x < -7, то |x+7| = -(x+7), поэтому функция y=x^2+13x-3|x+7|+42 принимает вид y=x^2+13x-3(-x-7)+42 = x^2 + 16x + 63.
- Если x >= -7, то |x+7| = x+7, и функция y=x^2+13x-3|x+7|+42 принимает вид y=x^2+13x-3(x+7)+42 = x^2 + 10x + 63.

Теперь мы можем построить график двух функций:
- y=x^2 + 16x + 63 для x < -7
- y=x^2 + 10x + 63 для x >= -7

2. Далее нам нужно найти точки пересечения графика функции с прямой y=m.

Поставим уравнение функции y=x^2+13x-3|x+7|+42 равным y=m:
x^2 + 13x - 3|x+7| + 42 = m

Теперь найдем точки пересечения решением этого уравнения. Решение будет иметь два два случая в зависимости от значения x:

2.1. Если x < -7, то |x+7| = -(x+7), поэтому уравнение примет вид:
x^2 + 13x - 3(-x-7) + 42 = m
x^2 + 13x + 3x + 21 + 42 = m
x^2 + 16x + 63 = m

2.2. Если x >= -7, то |x+7| = x+7, поэтому уравнение примет вид:
x^2 + 13x - 3(x+7) + 42 = m
x^2 + 13x - 3x - 21 + 42 = m
x^2 + 10x + 21 = m

Теперь у нас есть два уравнения для каждого из случаев, в которых x < -7 и x >= -7. Мы можем решить эти уравнения для определения точек пересечения между графиком функции и прямой y=m.

3. Определяем условие, при котором прямая y=m имеет три общие точки с графиком функции.

Чтобы прямая y=m имела три общие точки с графиком функции, уравнения из пункта 2 должны иметь решения. Это возможно только тогда, когда уравнения будут иметь два одинаковых корня.

Заметим, что уравнения x^2 + 16x + 63 = m и x^2 + 10x + 21 = m являются квадратными уравнениями, и они имеют два корня, если и только если их дискриминанты равны нулю:

Для первого уравнения:
Дискриминант D1 = (16)^2 - 4(1)(63-m) = 256 - 252 + 4m = 4m + 4

Для второго уравнения:
Дискриминант D2 = (10)^2 - 4(1)(21-m) = 100 - 84 + 4m = 4m + 16

Теперь найдем значения m, при которых D1 = D2 = 0:

4m + 4 = 0
4m + 16 = 0

4m = -4
4m = -16

m = -1
m = -4

Таким образом, прямая y=m будет иметь три общие точки с графиком функции y=x^2+13x-3|x+7|+42 только при m = -1 или m = -4.

Надеюсь, это понятно! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!