1. Алгебра
  2. Положительные числа a, b, с

Положительные числа a, b, с таковы, что abc =1. докажите неравенство

ехуотличница ехуотличница    3   17.06.2019 18:00    2

Ответы
2003lyuba 2003lyuba  02.10.2020 03:59
 
abc=1\\
\frac{1}{a^3(b+c)} + \frac{1}{b^3(a+c)} + \frac{1}{c^3(b+a)} \geq \frac{3}{2}\\\\
 
После приведения под общим  знаменатель,получим                     
\frac{(ab+ac+bc)(a^3b^3+a^3c^3+a^2b^2c^2+b^3c^3)}{a^3b^3c^3(a+b)(a+c)(b+c)} = \\\\
abc=1\\\\
\frac{(ab+ac+bc)(a^3b^3+a^3c^3+b^3c^3+1)}{ (a+b)(a+c)(b+c)}

  
 Теперь по неравенству о средних получим 
 \frac{a^3b^3+a^3c^3+b^3c^3}{3} \geq \sqrt[3]{a^6b^6c^6}=a^2b^2c^2=1
 то есть a^3b^3+a^3c^3+c^3b^3 \geq 3 с учетом того что a0;b0;c0 
Так же            (a+b)(b+c)(a+c)=a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2+2\\
\frac{a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2}{6} \geq 1\\
a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2 \geq 6 
И включая \frac{(ab+bc+ac)*4}{8} \geq \frac{3}{2}\\
\frac{ab+bc+ac}{2} \geq \frac{3}{2} 
 прихожим к более легкому неравенству 
 ab+bc+ac \geq 3\\
\frac{ab+bc+ac}{3} \geq 1 \\
 \frac{ab+bc+ac}{3} \geq \sqrt[3]{a^2b^2c^2}=1
 
 то есть минимальное значение это \frac{3}{2}
 Что и требовалось  доказать
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Алгебра
cherepd2005 cherepd2005  27.07.2019 03:20
Решите уравнение (х-1)(х-3)(х+5)(х+7) = 297...
DastyMilk DastyMilk  27.07.2019 03:20
Найдите значение дроби: 25*16/8*5^3...
urbutite71 urbutite71  27.07.2019 03:20
Из 2 пунктов, расстояние между которыми 24 км, отправились в одно и то же время навстречу друг другу два автомобиля. автомобиль, вышедший из пункта а, приходит в пункт...
1649fn49 1649fn49  27.07.2019 03:20
Все 1.бригаде грузчиков поручили перевезти 120 контейнеров. после перевозки 36 контейнеров автомобиль заменили более мощным, грузоподъемность которого на 10 контейнеров...
Alicewonderr Alicewonderr  27.07.2019 03:20
)a)5а^2(4a^3-a^2+1) б)(3c-x)(2c-5x)...
dddddq dddddq  27.07.2019 03:20
Решите пару неравенств 2^x ≥ 16 (1/3)^x 27 5^(x+2) 1/25 log 3 x ≤ log 3 5 log 0.4 x 1 lg(x-4)≥0...
АнастейшаГрей1 АнастейшаГрей1  27.07.2019 03:20
Если задуманное двузначное число сложить с суммой его цифр, то получится 68. если же из этого двузначного числа вычесть 45, то получится двузначное число, записанное...
7575757575 7575757575  27.07.2019 03:20
Решить неравенство икс умножить в скобках икс в квадрате минус тридцать шерсть делить на икс плюс девять все это меньше нуля...
fainanem fainanem  27.07.2019 03:20
Один из корней уравнения 5х^2+вх-12=0 равен -3. найдите коэффициент в и другой корень уравнения....
MrLinar MrLinar  23.02.2021 08:48
Помагите с алгеброй была на больничном ничего не понимаю​...

Популярные вопросы