Показать,что не делимая на 3 квадрат натурального числа деля на 3 получается остаток 1 (если ,буду рад)

Question

Алгебра: Показать,что не делимая на 3 квадрат натурального числа деля на 3 получается остаток 1 (если ,буду рад)

илья1968 · Answer

Пусть n - натуральное число делящееся на 3 без остатка

тогда следующие натуральные числа n+1, n+2 не деляться на 3 без остатка,

так как число делится на 3 если на 3 делится сумма его цифр.

возведем (n+1) в квадрат

$(n+1)^{2} =n^{2} +2n+1$

так как n делится на 3, значит на 3 без остатка разделится и сумма $n^{2} +2n$

а деление $(n+1)^{2}$ даст в остатке 1.

возведем в квадрат (n+2)

$(n+2)^{2} =n^{2} +4n+4=n^{2} +4n+(3+1)=(n^{2} +4n+3)+1$

так как n делится на 3, то сумма

$(n^{2} +4n+3)$

тоже делится на 3 , так как сумма всех цифр делится на 3

в остатке получаем 1