Почему ветви параболы направлены вверх\вниз,когда а> 0\a< 0? здесь какая-то связь между коэффициентами?

Попытаюсь объяснить.
Не совсем.
Дело в том, что необходимые для построения параболы точки и координаты ее вершины мы находим из уравнения.
Предоставлю пример.
 -х2 - 2х + 3 = 0,  х2+2х-3=0
Корнями будут числа -3 и 1. Эти точки находим на 0х и отмечаем их.
с - точка пересечения графика с осью 0у. Отмечаем на 0у 3
Ищем координаты вершины. х = 2 / -2 = -1
у = -2 + 2 + 3 = 3
Если отметить и точку (-1;3), то становится ясно, что ветви параболы будут направлены только вниз.
Можно взять любое уравнение и поэкспериментировать. Такая вот закономерность.
Надеюсь, понятно объяснила