По статистике следственный отдел результативно расследует в среднем 80% преступлений. Найдите вероятность того, что из пяти совершенных
преступлений три будут успешно расследованы.

Чтобы найти вероятность того, что из пяти совершенных преступлений три будут успешно расследованы, мы будем использовать формулу для биномиального распределения.

В данном случае, нам дано, что следственный отдел результативно расследует в среднем 80% преступлений, что можно перевести в вероятность успешного расследования одного преступления: p = 0.8.

Также нам дано, что из пяти совершенных преступлений нужно найти вероятность того, что три будут успешно расследованы. Обозначим данную вероятность как P(X=3), где X - количество успешно расследованных преступлений.

Формула для биномиального распределения выглядит следующим образом:
P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k),

где C(n,k) - число сочетаний из n по k (n - количество преступлений, k - количество успешно расследованных преступлений), p - вероятность успешного расследования одного преступления, (1-p) - вероятность неуспешного расследования одного преступления.

В нашем случае, n = 5 (пять совершенных преступлений), k = 3 (три успешно расследованных преступления), p = 0.8.

Теперь пошагово решим задачу и найдем вероятность P(X=3):

1. Найдем число сочетаний C(5,3):
C(5,3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 5! / (3! * 2!) = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((3 * 2 * 1) * (2 * 1)) = 10.

2. Возводим вероятность успешного расследования одного преступления в степень количества успешно расследованных преступлений:
p^k = 0.8^3 = 0.512.

3. Возводим вероятность неуспешного расследования одного преступления в степень разности количества преступлений и успешно расследованных преступлений:
(1-p)^(n-k) = (1-0.8)^(5-3) = 0.2^2 = 0.04.

4. Подставляем значения в формулу для биномиального распределения:
P(X=3) = C(5,3) * p^k * (1-p)^(n-k) = 10 * 0.512 * 0.04 = 0.2048.

Таким образом, вероятность того, что из пяти совершенных преступлений три будут успешно расследованы, составляет 0.2048 или 20.48%.