По линейной алгебре найти общее решение системы

Объяснение:

a) СЛУ:

2x₁-2x₂+x₃-x₄=0

2x₁-3x₂+5x₃+4x₄=0

-2x₁+x₂+3x₃+6x₄=0

Решение методом Гаусса:

|  2    -2     1     -1 | 0 |   | 0     1    -4    -5  |0|   |  0     1    -4     -5  |0|  

|  2    -3     5     4 | 0 |=|  2    -3     5     4 |0|=|  0    -2    8      10  |0|=

| -2     1     3     6 | 0  |  | -2     1     3     6  |0|  | -2     1     3       6  |0|

 |  0     0    0      0  |0|

=|  0    -2    8      10 |0|

 | -2     1     3       6  |0|

-2x₂+8x₃+10x₄=0                    |(-2)

x₂-4x₃-5x₄=0

x₂=4x₃+5x₄

-2x₁+x₂+3x₃+6x₄=0

-2x₁+4x₃+5x₄+3x₃+6x₄=0

-2x₁+7x₃+11x₄=0

-2x₁=-7x₃-11x₄

x₁=-(7x₃+11x₄)/(-2)=(7x₃+11x₄)/2=3,5x₃+5,5x₄

x₃, x₄ - свободные переменные

               | 3,5x₃+5,5x₄ |

ответ: X=|    4x₃+5x₄   |

                |       x₃          |  

                |       x₄          |

b) СЛУ:

x₁+2x₂-5x₃+x₄+2x₅=-5

x₁+2x₂+7x₃-4x₄+x₅=11

x₁+2x₂+3x₃-2x₄+x₅=4

2x₁+4x₂+2x₃-2x₄+2x₅=1

Решение методом Гаусса:

|  1    2    -5    1    2 |-5|   |  0    0    12   -5  -1 |16|   |  0    0    12   -5  -1 |16|

|  1    2     7   -4    1 | 11 |=|  1     2     7    -4    1 | 11|=|  0    0    -4     2   0 |-7|=

|  1    2     3   -2    1 | 4 |   |  1    2     3    -2    1 | 4|   |  1    2     3    -2    1 | 4 |

|  2   4     2   -2    2 | 1 |   |  2   4     2    -2    2 | 1|   |  2   4     2    -2    2 | 1 |

 |  0    0    12   -5  -1 |16|

=|  0    0    -4     2   0 |-7|

 |  0    0    -4    2    0 |-7|

 |  2    4     2    -2    2 | 1 |

Получились в матрице две одинаковые строки. Так как они идентичны, то одну строку можно убрать.

|  0    0    12   -5  -1 |16 |

|  0    0    -4    2    0 |-7|

|  2    4     2    -2    2 | 1 |

Определим ранг матрицы основной системы A:

   |  0    0    12   -5   -1 |   |  2    4     2    -2   2 |  |  1     2     1    -1     1  |

A=|  0    0    -4     2   0 |=|  0    0    -4     2   0 |=|  0    0    -4     2   0 |=

    |  2    4     2    -2   2 |  |  0    0    12   -5   -1 |  |  0    0    12   -5   -1  |

 |  1     2     1    -1      1  |  |  1     2     1    -1      1  |

=|  0    0     1    -1/2  0 |=|  0    0     1    -1/2  0  |

 |  0    0    12   -5    -1  |  |  0    0    0     1    -1  |

Получились три ненулевые строки. Следовательно, ранг A=3.

Теперь определим ранг матрицы расширенной системы B:

   |  0    0    12   -5  -1   16 |  |  2    4     2    -2    2    1  |

B=|  0    0    -4    2    0  -7 |=|  0    0    -4    2    0   -7  |=

    |  2    4     2    -2    2  1 |   |  0    0    12   -5   -1   16  |

  |  1    2     1    -1      1    1/2  |  |  1    2     1     -1      1    1/2  |

= |  0    0    -4    2    0   -7    |=|  0    0    1    -1/2    0   7/4 |=

  |  0    0    12   -5   -1    16   |  |  0    0    12   -5    -1    16   |

 |  1    2     1     -1      1    1/2  |

=|  0    0    1    -1/2    0   7/4 |

 |  0    0    0     1      -1    -5  |

Получились три ненулевые строки. Следовательно, ранг B=3.

rang(A)=rang(B) ⇒ данная система совместна.

12x₃-5x₄-x₅=16; 5x₄=12x₃-x₅-16; 10x₄=24x₃-2x₅-32

-4x₃+2x₄=-7; 2x₄=4x₃-7; 10x₄=20x₃-35

2x₁+4x₂+2x₃-2x₄+2x₅=1; 2x₄=2x₁+4x₂+2x₃+2x₅-1; 10x₄=10x₁+20x₂+10x₃+10x₅-5

24x₃-2x₅-32=20x₃-35; 4x₃-2x₅=-3; 2x₅=4x₃+3; x₅=2x₃+1,5

20x₃-35=10x₁+20x₂+10x₃+10x₅-5                |5

2x₃-6=2x₁+4x₂+4x₃+3; 2x₁=-4x₂-4x₃-3-6; x₁=-2x₂-2x₃-4,5

x₄=2x₃-3,5

x₂, x₃ - свободные переменные.

                | -2x₂-2x₃-4,5|

ответ: X=|           x₂       |

                |           x₃       |

                |       2x₃-3,5  |

                |       2x₃+1,5  |