Площадь прямоугольного треугольника равна 54 см^2, а его гипотенуза равна 15. найти катеты.

по теореме пифагора

система
1/2*а*в=54
а^2*в^2=(15)^2

a=9 и b=12

S = 1/2 * a*b , где a и b - катеты прямоуг. треугольника, тогда

1/2 * a*b = 54

a*b = 108

C другой стороны по теореме Пифагора: 

a²+b²=15²

a²+b²=225

таким образом, будем рассматривать систему из 2-ух уравнений:

a*b = 108

a²+b²=225

Из первого уравннеия: a = 108/b

подставляем во второе:

(108/b)²+b² = 225

11664/b² + b² = 225,    b≠0, а т.к. дело имее с длинами, то они не могут быть еще и отрицательными, т.е. b>0.

Домножим на b² убе части уравнения:

11664+b⁴-225b²=0

Введем замену: b² = t, получим:

t²-225t+11664=0

D = 50625-46656=3969

t1 = (225-63)/2 =81

t2 = (225+63)/2 =144

делаем обратную замену:

b² = 81

b = ± 9 - ,берем только b=9, т.к. b>0

b² = 144

b = ± 12 - ,берем только b=12, т.к. b>0

Если b = 9, то a = 108/9 = 12

Если b = 12, то a = 108/12 = 9

ответ: катеты равны 9 и 12 или 12 и 9 см.