Площадь прямоугольника равна 12√3, а угол между его диагоналями - 60. Найдите стороны прямоугольника.

Question

Алгебра: Площадь прямоугольника равна 12√3, а угол между его диагоналями - 60. Найдите стороны прямоугольника.

90125 · Answer

С одной стороны, площадь прямоугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними, то есть :

$S=\frac{1}{2}d^{2}*Sin60^{0} \\\\2S=d^{2}*\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\4S=\sqrt{3}d^{2}\\\\4*12\sqrt{3}=\sqrt{3}d^{2}\\\\d^{2}=48\\\\d=\sqrt{48} =\sqrt{16*3}=4\sqrt{3}$

Половинки диагоналей и меньшая сторона прямоугольника образуют равносторонний треугольник, значит меньшая сторона прямоугольника равна половине диагонали, то есть:

a = 1/2 * 4√3 = 2√3

С другой стороны, площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину, то есть :

S = a * b

b = S : a = 12√3 : 2√3 = 6

ответ : длины сторон прямоугольника 2√3 и 6