Передние колеса роликовых коньков приходят в негодность после 300км пробега, а -после 500км. диме подарили новые роликовые коньки. после скольких километров пробега ему нужно поменять местами задние и передние
колеса, чтобы они прослужили одинаково долго?

очень долго расписывать 

вот конец решения 3/5 пуси коньки в обычном режимы это 0.6 от всего пути кот они отработают

и 2/5=0.4 с перевернутыми колесами 

Соотношение сроков службы передних и задних колесиков составляет 300/500 = 3/5. То есть, если на коньках прокатались S километров, то передние колеса могут прослужить еще 300-S км, а будучи переставлены назад прослужат в 5/3 раз дольше то есть (300-S)*5/3. Если же задние колесики отработали те же самые S километров, то будучи поставлены вперед, они смогут прослужить в 3/5 раз короче, то есть (500-S)*3/5 . Но ведь нас интересует условие, что срок службы обоих колесиков после перестановки будет одинаковым, то есть количество наеженных километров обоих колес после перестановки одно и тоже! Значит искомое расстояние найдется из выражения (500-S)*3/5 = (300-S)*5/3. После нетрудных преобразований, получим: 16S = 120/25; S = 187.5 км.