Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12 Площадь ее
поверхности равна 180 Найдите высоту призмы.

Прежде чем решать задачу, давайте вспомним некоторые определения и свойства треугольников и призм.

Прямые треугольные призмы - это тела, у которых боковые грани являются прямоугольными треугольниками.

В данной задаче у нас есть основание призмы - прямоугольный треугольник со сторонами 5 и 12. Это означает, что одна из сторон основания - это катеты прямоугольного треугольника, а другая сторона - гипотенуза прямоугольного треугольника.

Чтобы найти высоту призмы, нам нужно знать формулу для нахождения площади поверхности призмы. Давайте ее вспомним.

Площадь поверхности прямой треугольной призмы вычисляется суммой площадей всех ее граней. В случае прямоугольной призмы, у нее 3 боковые грани - прямоугольные треугольники, и 2 основания - прямоугольники.

Теперь, когда мы знаем всю необходимую информацию, давайте приступим к решению задачи.

Шаг 1: Найдем площадь основания призмы.
Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: Площадь = (1/2) * сторона1 * сторона2, где сторона1 и сторона2 - это катеты треугольника.

Подставляем известные значения: Площадь = (1/2) * 5 * 12 = 30.

Таким образом, площадь одного основания призмы равна 30.

Шаг 2: Найдем общую площадь поверхности призмы.
Так как призма имеет 3 боковые грани, то площадь всех боковых граней равна 3 * Площадь основания.

Подставляем известное значение: Площадь боковых граней = 3 * 30 = 90.

Так как у призмы еще 2 основания, то общая площадь поверхности призмы равна сумме площади боковых граней и площади оснований.

Подставляем известные значения: Общая площадь поверхности призмы = 90 + 2 * 30 = 90 + 60 = 150.

Таким образом, общая площадь поверхности призмы равна 150.

Шаг 3: Найдем высоту призмы.
Формула для нахождения площади поверхности призмы - это Площадь = 2 * Площадь основания + Периметр основания * Высоту.

Мы уже знаем площадь поверхности призмы (150) и площадь одного основания (30), нам нужно найти высоту.

Подставляем известные значения в формулу и находим высоту: 150 = 2 * 30 + Периметр * Высота.

Выражаем высоту: 150 - 2 * 30 = Периметр * Высота.

120 = Периметр * Высота.

Выражаем высоту: Высота = 120 / Периметр.

Для нахождения периметра основания нам нужно знать длины всех сторон прямоугольного треугольника.

Периметр = сторона1 + сторона2 + гипотенуза.

Подставляем известные значения: Периметр = 5 + 12 + 13 = 30.

Высота = 120 / 30 = 4.

Таким образом, высота призмы равна 4.

Ответ: высота призмы равна 4.