Объясните мне подробно, как определить знак функции на каждом промежутке. у меня проблемы с этой темой, а завтра контрольная.

В первую очередь необходимо проверить, меняет ли функция знак при переходе через границу каждого интервала.
Далее берем произвольную точку, из одного интервала и  определяем знак функции на нем.
Далее последовательно движемся по интервалам и меняем или нет знак функции в зависимости от того, меняется он при переходе через границу или нет.
При возникновении сомнений проверяем себя подставляя произвольную точку из интервала и смотрим знак функции.

Например рассмотрим функцию f(x)=x²(x-20)/(x+5)
f(x)=0 при х= -5, 0, 20
значит у нас 4 интервала (-∞;-5], [-5;0], [0;20] и [20;+∞)
Но обратим внимание, что в точке х=0 знак не меняется, так как х² всегда ≥0
Рассмотрим первый интервал (-∞;-5]
Берем любой x <-5, например -100
(-100)²>0
(-100-20)<0
(-100+5)<0
значит f(-100)>0
На интервале (-∞;-5]    f(x)≥0

при переходе через точку х=-5, выражение (х+5) становится
 положительным,  поэтому на интервале [-5;0]  f(x)≤0
 
при переходе через точку х=0, знак функции не меняется,  поэтому на интервале [0;20]  f(x)≤0

при переходе через точку х=20, выражение (х-20) становится
 положительным,  поэтому на интервале [20;+∞)  f(x)≥0