Не решая квадратного уравнения 2х'2+12х-3 найдите сумму чисел обратных кубам его корней.составьте квадратное уравнение корни которых противоположны квадратам корней данного уравнения​

ответ: 1/x1^3 +1/x2^3=72

Уравнение с корнями противоположными квадратам данных : 4x^2+156x+9=0

Уравнение с корнями обратными данным: 3t^2-12t-2=0

Объяснение:

Пусть x1,x2-корни данного уравнения.

Составим уравнение которое  имеет корни противоположные  квадратами данного уравнения:

2x^2+12x-3=0

По теореме Виета:

x1+x2=-12/2=-6

x1*x2=-3/2

Найдем сумму квадратов его корней взятых с противоположным знаком:

-x1^2+(-x2^2)=-(x1^2+x2^2)= - ( (x1+x2)^2-2x1*x2)=-(36-(-3) )=-39

Найдем произведение квадратов корней взятых с противоположным знаком:

-(x1)^2*(-(x2)^2)=(x1*x2)^2= (-3/2)^2=9/4

По теореме обратной теореме Виета:

корни -(x1)^2 и -(x2)^2 являются корнями следующего уравнения:

x^2-(-x1^2+(-x2^2) )*x + (-(x1)^2*(-(x2)^2) )=0

x^2+39x+9/4=0

4x^2+156x+9=0

Для общего развития оставлю как находить уравнение с корнями обратными данным.

Для того чтобы составить уравнение с корнями обратными данным, нужно подставить вместо  x ,1/t

(2/t)^2 +12/t -3=0

3t^2-12t-2=0 - уравнение с корнями:

t1=1/x1 и t2=1/x3 .(Этот  простой приём справедлив для многочлена любой степени)

По теореме Виета:

t1+t2=12/3=4

t1*t2=-2/3

1/x1^3 + 1/x2^3=

(1/x1)^3+(1/x2)^3=t1^3+t2^3=

(t1+t2)*(t1^2-t1*t2+t2^2)=

(t1+t2)*( (t1+t2)^2-3t1*t2)=4*(16+2)=72

2х²+12х-3=0, по теореме ВИета х₁+х₂=-12/2=-6, а х₁*х₂=-3/2;

1/х₁³+1/х₂³=(х₂³+х₁³)/((х₁*х₂)³)=

((х₁+х₂)(х₁²-х₁х₂+х₂²))/((х₁*х₂)³)=-6*((х₁+х₂)²-3х₁*х₂)/((х₁*х₂)³)=

-6*(36-3*(-3/2))((-3/2)³)=-6*(72+9)/((2*(-3/2)*(9/4))=(4*6*3)=72

Корни данного квадратного уравнения равны (-6±√(36+6))/2=-3±0.5√42;

Квадраты корней данного уравнения равны (-3-0.5√42)²=(3+0.5√42)²=

(9+3√42+42*0.25)=(19.5+3√42), а ему противоположен

-(19.5+3√42).

Квадрат другого корня равен (-3+0.5√42)²=(19.5-3√42), ему противоположен (3√42-19.5), а искомое квадратное уравнение тогда имеет вид

(х-(-(19.5+3√42))(х-(3√42-19.5))=0; (х+19.5+3√42))(х-3√42+19.5))=0;

(х+19.5)²-(3√42)²=0; х²+39х+380.25-9*42=0; х²+39х+2.25=0