Найти значения параметра a, при которых функция y=(a-12)x³+3(a-12)x²+6x+7 монотонно возрастает на всей числовой оси.

Вроде как никакая функция с квадратом (с любой натуральной четной степенью) не может гарантированно монотонно возрастать. Значит, 3(a-12)=0. Решение очевидно: a=12. Теперь проверяем, то ли получилось: получилась линейная возрастающая функция, ура.

A-12=t. 
Тогда f(x)=tx³+3tx²+6x+7
Возьмем производную:
f'(x)=3tx²+6tx+6
Достаточное условие возрастания на интервале: производная всюду на интервале положительна, хотя в некоторых точках может быть и равна нулю.
В данном случае это означает то, что неравенство 3tx²+6tx+6≥0 должно быть верным при любом x. 
Пусть t=0 (a=12), тогда равна 6 и всегда положительна. а=12 нам подходит.
Теперь нужно рассмотреть два случая. Если t>0, то ветви параболы направлены вверх и неравенство будет верно для любого x при D≤0.
D=36t(t-2)
D≤0 при 0<t≤2
Если же t<0, то ветви параболы направлены вниз и этот случай нам не подходит.
Значит 0≤t≤2 
0≤a-12≤2
12≤a≤14 -ответ.