Найти значение производной функции y=(x²-2)⁵ при x=2​

y=32

Объяснение:

одной точки не достаточно чтобы построить функцию

1. Найдите значение производной функции в точке x₀:

a) y=(3·x-2)⁷, x₀=3

y'=((3·x-2)⁷)'=7·(3·x-2)⁶·(3·x-2)'=7·(3·x-2)⁶·3=21·(3·x-2)⁶

y'(3)=21·(3·3-2)⁶=21·7⁶=21·117649=2470629

б) y=(4-5·x)⁷, x₀=1

y'=((4-5·x)⁷)'=7·(4-5·x)⁶·(4-5·x)'=7·(4-5·x)⁶·(-5)= -35·(4-5·x)⁶

y'(1)= -35·(4-5·1)⁶= -35·(-1)⁶= -35·1= -35

в) y=(2·x+3)⁵, x₀=2

y'=((2·x+3)⁵)'=5·(2·x+3)⁴·(2·x+3)'=5·(2·x+3)⁴·2=10·(2·x+3)⁴

y'(2)=10·(2·2+3)⁴=10·7⁴=10·2401=24010

г) y=(5-3·x)⁷, x₀=1

y'=((5-3·x)⁷)'=7·(5-3·x)⁶·(5-3·x)'=7·(5-3·x)⁶·(-3)= -21·(5-3·x)⁶

y'(1)= -21·(5-3·1)⁶= -21·2⁶= -21·64= -1344

2. Вычислить скорость изменения функции в точке x₀ (скорость изменения равносильно производная первого порядка):

a) y=(2x+1)⁵, x₀= -1

y'=((2·x+1)⁵)'=5·(2·x+1)⁴·(2·x+1)'=5·(2·x+1)⁴·2=10·(2·x+1)⁴

y'(-1)=10·(2·(-1)+1)⁴=10·(-1)⁴=10·1=10

б) \displaystyle y=\sqrt{7 \cdot x-3}y=

7⋅x−3

, x₀= 1

\begin{gathered}\displaystyle y'=(\sqrt{7 \cdot x-3})' =((7 \cdot x-3)^{\frac{1}{2} })'=\dfrac{1}{2} \cdot (7 \cdot x-3)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (7 \cdot x-3)'==\dfrac{1}{2} \cdot (7 \cdot x-3)^{-\frac{1}{2}} \cdot 7=\dfrac{7}{2} \cdot (7 \cdot x-3)^{-\frac{1}{2}}\end{gathered}

y

′

=(

7⋅x−3

)

′

=((7⋅x−3)

2

1

)

′

=

2

1

⋅(7⋅x−3)

2

1

−1

⋅(7⋅x−3)

′

=

=

2

1

⋅(7⋅x−3)

−

2

1

⋅7=

2

7

⋅(7⋅x−3)

−

2

1

\displaystyle y'(1)=\dfrac{7}{2} \cdot (7 \cdot 1-3)^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{7}{2} \cdot 4^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{7}{2} \cdot 2^{-1}= \dfrac{7}{2} \cdot\frac{1}{2}=\dfrac{7}{4}=1\dfrac{3}{4}y

′

(1)=

2

7

⋅(7⋅1−3)

−

2

1

=

2

7

⋅4

−

2

1

=

2

7

⋅2

−1

=

2

7

⋅

2

1

=

4

7

=1

4

3

в) \displaystyle y=\frac{4}{12 \cdot x-5}y=

12⋅x−5

4

, x₀= 2 \displaystyle\begin{gathered}\displaystyle y'=(\frac{4}{12 \cdot x-5})'=(4 \cdot (12 \cdot x-5)^{-1})'=4 \cdot (-1) \cdot (12 \cdot x-5)^{-1-1} \cdot (12 \cdot x-5)'==-4 \cdot (12 \cdot x-5)^{-2} \cdot 12=-48 \cdot (12 \cdot x-5)^{-2}\end{gathered}

y

′

=(

12⋅x−5

4

)

′

=(4⋅(12⋅x−5)

−1

)

′

=4⋅(−1)⋅(12⋅x−5)

−1−1

⋅(12⋅x−5)

′

=

=−4⋅(12⋅x−5)

−2

⋅12=−48⋅(12⋅x−5)

−2

\displaystyle y'(2)=-48 \cdot (12 \cdot 2-5)^{-2}= \frac{-48 }{19^{2}}=-\frac{48 }{361}}

г) \displaystyle y=\sqrt{11-5 \cdot x}y=

11−5⋅x

, x₀= -1\begin{gathered}\displaystyle y'=(\sqrt{11-5 \cdot x})' =((11-5 \cdot x)^{\frac{1}{2} })'=\dfrac{1}{2} \cdot (11-5 \cdot x)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (11-5 \cdot x)'==\dfrac{1}{2} \cdot (11-5 \cdot x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-5)=-\dfrac{5}{2} \cdot (11-5 \cdot x)^{-\frac{1}{2}}\end{gathered}

y

′

=(

11−5⋅x

)

′

=((11−5⋅x)

2

1

)

′

=

2

1

⋅(11−5⋅x)

2

1

−1

⋅(11−5⋅x)

′

=

=

2

1

⋅(11−5⋅x)

−

2

1

⋅(−5)=−

2

5

⋅(11−5⋅x)

−

2

1

\displaystyle y'(-1)=-\dfrac{5}{2} \cdot (11-5 \cdot (-1))^{-\frac{1}{2}}=-\dfrac{5}{2} \cdot 16^{-\frac{1}{2}}=-\dfrac{5}{2} \cdot 4^{-1}= -\dfrac{5}{2} \cdot \frac{1}{4}=-\dfrac{5}{8}y

′

(−1)=−

2

5

⋅(11−5⋅(−1))

−

2

1

=−

2

5

⋅16

−

2

1

=−

2

5

⋅4

−1

=−

2

5

⋅

4

1

=−

8

5

3. Найдите производные функций:

a) y=(x-1)·(x²+x+1) = x³-1

=1·(x²+x+1)+(x-1)·(2·x+1)= x²+x+1+2·x²+x-2·x-1 =3·x²

б) \displaystyle y=\frac{x^{9}-3}{x^{3}}y=

x

3

x

9

−3

y

′

=(

x

3

x

9

−3

)

′

=

(x

3

)

2

(x

9

−3)

′

⋅x

3

−(x

3

)

′

⋅(x

9

−3)

=

=

x

6

(9⋅x

8

−0)⋅x

3

−(3⋅x

2

)⋅(x

9

−3)

=

x

6

9⋅x

8

⋅x

3

−3⋅x

2

⋅(x

9

−3)

=

=

x

6

9⋅x

11

−3⋅x

11

+9⋅x

2

=

x

6

6⋅x

11

+9⋅x

2

=

x

4

6⋅x

9

+9

\begin{gathered}\displaystyle y'=(\dfrac{x^{9}-3}{x^{3}})'=(x^{6}-\dfrac{3}{x^{3}})'=(x^{6}-3 \cdot x^{-3})'=(x^{6})'-3 \cdot (x^{-3})'== 6 \cdot x^{5}-3 \cdot (-3) \cdot x^{-4}=6 \cdot x^{5}+9\cdot x^{-4}=\dfrac{6 \cdot x^{9}+9}{x^{4}}\end{gathered}

y

′

=(

x

3

x

9

−3

)

′

=(x

6

−

x

3

3

)

′

=(x

6

−3⋅x

−3

)

′

=(x

6

)

′

−3⋅(x

−3

)

′

=

=6⋅x

5

−3⋅(−3)⋅x

−4

=6⋅x

5

+9⋅x

−4

=

x

4

6⋅x

9

+9

если правельно то прости пд