Найти все значения параметра a, при которых уравнение на отрезке [0; 4] имеет единственное решение

Рассмотрим сначала частные случаи 

Первый
D=0   
D=(2-3a)^2-9a(a+1)=4-21a
a=4/21  
x=(2-3*4/21)/(2*9*4/21/4)=5/3  попадает в интервал [0;4]

Это изолированное решение. При a>4/21 корней нет вовсе никогда. При а чуть меньше - корней сразу два.

Второй a=0 Один корень x=1/2 в заданном интервале.

Воспользуемся теперь теоремами о расположении корней квадратного уравнения 
Для этого найдем
f(0)=a+1 
и
f(4)=49a-7
критичные точки по а    1/7 и минус 1
Определим количество корней уравнения, попадающих в заданный интервал в этих точках 
при а=1/7  один корень ожидаемо x=4 , второй внутри интервала . Как было сказано выше - корней еще два, 1/7 не попадает в решение.
при a=-1 один корень 0 , второй отрицательный , точка а=-1 попадает в решение. 

условие что корни уравнения квадратного уравнения лежат по разные стороны от 0
а*f(0)<0  

a*(a+1)<0     a (-1;0)

условие что корни уравнения квадратного уравнения лежат по разные стороны от 4
а*f(4)<0  

a*(49a-7)<0  a (0;1/7) 

про крайние точки и 0 мы уже выше выяснили.

ответ [-1;1/7) U {4/21}