Алгебра: Найти tgx, если sin(x+30°)+sin(x-30°)=2√(3cosx)

Найти tgx, если sin(x+30°)+sin(x-30°)=2√(3cosx)

Ответы

Охико14 02.10.2020 17:26

Используем формулу суммы синусов
sinα + sinβ = 2 * sin $\frac{ \alpha + \beta }{2}$ * cos $\frac{ \alpha - \beta }{2}$
α = x + 30
β = x - 30
sin (x + 30) + sin (x - 30) = 2 * sin $\frac{x + 30 + x - 30}{2}$ * cos $\frac{x + 30 - x + 30}{2}$ = 2 √ (3cosx)
2 * sin $\frac{2x}{2}$ * cos $\frac{60}{2}$ = 2 √(3cosx)
2 * sin x * cos 30 = 2 √(3cosx)
2 * √3/2 * cosx = 2 √(3cosx)
√3 * sinx = 2 √(3cosx)
(√3 * sinx)² = (2 √(3cosx))²
3 * sin ² x = 4 * 3 * cosx
sin²x = 1 - cos²x
3 * (1 - cos²x) = 4 * 3 * cosx
1 - cos²x = 4 *cosx
cos²x + 4cosx - 1 = 0
cosx = t
t² + 4 t - 1 = 0
D = 16 - 4 * 1 * (- 1) = 16 + 4 = 20
t ₁ = (- 4 - √20)/2 = (- 4 - 2√5)/2 = - 2 - √5
t₂ = (- 4 + √20)/2 = (- 4 + 2√5)/2 = - 2 + √5
cosx = - 2 - √5 < - 1 не удовлетворяет, т.к. значения -1 ≤ cosх ≤ 1
cos x = - 2 + √5 < 1 удовлетворяет
Используем формулу
1 + tg²x = $\frac{1}{cos ^{2}x }$
tg²x = $\frac{1}{cos ^{2}x }$ - 1
tg²x = $\frac{1}{ (- 2 + \sqrt{5} )^{2} }$ - 1 = $\frac{1}{9 - 4 \sqrt{5} }$ -1 = $\frac{1 - 9 + 4 \sqrt{5} }{9 - 4 \sqrt{5} }$ = $\frac{- 8 + 4 \sqrt{5} }{9 - 4 \sqrt{5} }$ = $\frac{(-8 + 4 \sqrt{5} ) * (9 + 4 \sqrt{5} )}{(9 - 4 \sqrt{5} ) * (9 + 4 \sqrt{5} )}$ = $\frac{-72 + 36 \sqrt{5} - 32 \sqrt{5} + 80 }{81 - 80}$ = 8 + 4√5
tg²x = 8 + 4√5 = 4 (2 + √5)
tgx = 2√(2 + √5)
tgx = - 2√(2 + √5)

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

Другие вопросы по теме Алгебра