1. Алгебра
  2. Найти [tex]\lim_{n \to \infty}

Найти \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{a1a2} + \frac{1}{a2a3} + + \frac{1}{a_{n}a_{n+1} }) ,
где {a_{k}} - арифметическая прогрессия, все члены и разность d которой отличны от нуля.

danil2001334 danil2001334    3   11.09.2019 20:36    0

Ответы
Гарфилд32 Гарфилд32  07.10.2020 08:12

Распишем сначала сумму для удобства и потом подсчитаем предел

\dfrac{1}{a_1a_2}+\dfrac{1}{a_2a_3}+...+\dfrac{1}{a_na_{n+1}}=\dfrac{1}{d}\left(\dfrac{d}{a_1a_2}+\dfrac{d}{a_2a_3}+...+\dfrac{d}{a_na_{n+1}}\right)=\\ \\ \\= \dfrac{1}{d}\left(\dfrac{d}{a_1(a_1+d)}+\dfrac{d}{(a_1+d)(a_1+2d)}+...+\dfrac{d}{(a_1+(n-1)d)(a_1+nd)}\right)=\\ \\ \\ =\dfrac{1}{d}\bigg(\dfrac{a_1+d-a_1}{a_1(a_1+d)}+\dfrac{a_1+2d-(a_1+d)}{(a_1+d)(a_1+2d)}+...+\dfrac{a_1+nd-(a_1+(n-1)d)}{(a_1+(n-1)d)(a_1+nd)}\bigg)=

=\dfrac{1}{d}\bigg(\dfrac{1}{a_1}-\dfrac{1}{a_1+d}+\dfrac{1}{a_1+d}-\dfrac{1}{a_1+2d}+...+\dfrac{1}{a_1+(n-1)d}-\dfrac{1}{a_1+nd}\bigg)=\\ \\ \\ =\dfrac{1}{d}\cdot \left(\dfrac{1}{a_1}-\dfrac{1}{a_1+nd}\right)

Переходя к пределу при  n\to \infty мы получим

\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{d}\left(\dfrac{1}{a_1}-\dfrac{1}{a_1+nd}\right)=\dfrac{1}{a_1d}

ответ: \displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\dfrac{1}{a_1a_2}+\dfrac{1}{a_2a_3}+...+\dfrac{1}{a_na_{n+1}}\right)=\dfrac{1}{a_1d}

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Алгебра
katyatop12 katyatop12  13.09.2021 19:29
Объясните как делать, а то я вообще не понимаю что надо делать...
GizaHelinc GizaHelinc  13.09.2021 19:30
, с решением! Распишите как можно подробнее. Заранее благодарю!...
kotyara1234 kotyara1234  13.09.2021 19:32
Разложите на множетиели а3+64...
diasashat11 diasashat11  13.09.2021 19:33
(x^2-8x+12)(4x^2-9x+2) =0...
GreenDjai GreenDjai  13.09.2021 19:34
Запишите данное число в виде бесконечной десятичной периодической дроби...
Gok67 Gok67  13.09.2021 19:36
80. Решите подстановки систему уравнений: а) {х+у=2, х^2-у^2=100;б) {х+у=-5, х^2-у^2=5;в) {у-3х=0, х^2+у^2=40;г) {2х+у=0,Ху=2;...
ser2003123 ser2003123  13.09.2021 19:37
7. Корень из 11 (корень в 18 степени) * корень из 11 (корень в 9 степени) / корень из 11 (корень в 6 степени) 8. Корень из 4 (корень в 3 степени) * корень из 14 (корень...
igolovkov2015 igolovkov2015  13.09.2021 19:40
1.12. Найдите значение выражения: 1) (6) ; 2) (413) ; 3) V5.15; 4) (-13); 5) (-13). 13; 6) 37.7; 3 2 2 5 3 7) ; 8) 9) ; 4 2 15 5) А(-13)(13) = -13-13 = -13-13 =-(13 =...
olyarogova olyarogova  13.09.2021 19:40
Почему 0,2-0,6 равно -0. 4, если правило вычитания гласит, чтобы из числа вычесть другое надо к уменьшаемому прибавить число, противоположнре вычитаемоиу. например, по...
Павел22032006 Павел22032006  03.09.2019 06:00
Арифметическая прогрессия задана условиями a= 1,1, разность -0,8. найдите сумму первых 5 членов...

Популярные вопросы