Найти промежутки монотонности функции; понятно, что нужно найти производную и приравнять ее к 0, она получилась так: как это решить ума не приложу

Производная будет такая:
у ' = (x² +3x)' (x+4) - (x² +3x)(x+4)' =  (2x+3)(x+4) - (x²+3x)*1 =
                           (x+4)²                                       (x+4)²
   = 2x²+3x+8x+12-x²-3x = x²+8x+12
                (x+4)²                   (x+4)²

В точке х= -4 функция не существует.
x²+8x+12 =0
D=64-48=16
x₁=-8-4 = -6
        2
x₂= -8+4 = -2
          2
(x+2)(x+6)=0
     +               -                    -                   +
-6 -4 -2
x= -6 - max
x= -4  - точка разрыва
х= -2 - min
При х∈(-∞; -6] U [-2; +∞) - функция возрастает.
При х∈[-6; -4) U (-4; -2] - функция убывает.   

Откуда у вас в числителе x³ появился? Производная числителя - двучлен первой степени, производная знаменателя - 1. То есть получается только вторая степень многочлена:



Т.о., имеем 3 критические точки: -6, -4 и -2. При этом точка x=-4 - кратная четной степени, т.е. не является точкой экстремума.
Знаки первой производной: (-∞) + (-6) - (-4) - (-2) + (+∞)
Промежутки монотонности: (-∞) ↑ (-6) ↓ (-2) ↑ (+∞)