Найти производную по её определению (через предел)
y=x²+4x

ответ: y'=2*x+4.

Объяснение:

Так как областью определения данной функции является вся числовая ось, то зафиксируем некоторую (любую) точку x0 и придадим аргументу x приращение Δx. По определению производной, y'(x0)=lim [y(x0+Δx)-y(x0)]/Δx при Δx⇒0. В нашем случае y(x0)=x0²+4*x0, y(x0+Δx)=(x0+Δx)²+4*(x0+Δx)=x0²+2*x0*Δx+(Δx)²+4*x0+4*Δx, откуда y(x0+Δx)-y(x0)=2*x0*Δx+(Δx)²+4*Δx. Разделив это выражение на Δx, находим [y(x0+Δx)-y(x0)]/Δx=2*x0+Δx+4. Предел это выражения при Δx⇒0, очевидно, равен 2*x0+4, так что y'(x0)=2*x0+4. Но так как x0 - любая точка из области определения, то, заменяя x0 на x, получаем y'(x)=2*x+4.