Найти производную функции f(x)=log5(sin2x)

Хорошо, давайте решим задачу по нахождению производной функции f(x) = log5(sin2x) с максимальной подробностью.

Шаг 1: Найдите производную внутренней функции sin2x.
Для этого мы будем использовать цепное правило.

Правило состоит в следующем: если у нас есть функция g(x), и функция f(t) является внутренней функцией в функции g(x), то производная g(x) может быть найдена как произведение производной внутренней функции f(t) по её аргументу t на производную аргумента x по x.

Таким образом, для функции sin2x, производная равна производной синуса по аргументу (2x) умноженной на производную аргумента (2x) по x. Обозначим эти части как f(t) и g(x) соответственно.

f(t) = sin(t)
g(x) = 2x

Теперь найдем производные f(t) и g(x).

Производная f(t) равна cos(t) по правилам дифференцирования синуса.

Производная g(x) равна 2 по правилу дифференцирования константы, умноженная на производную x, которая является 1.

Таким образом, производная sin2x равна (cos(2x))*(2) = 2cos(2x).

Шаг 2: Теперь найдем производную функции f(x) = log5(sin2x).

Мы будем использовать правило дифференцирования логарифма.

Если у нас есть функция g(x) = loga(f(x)), где а - основание логарифма, и f(x) - функция, то производная g(x) может быть найдена как производная f(x) по x, поделенная на ln(a) умноженную на f(x).

В данном случае, наша функция f(x) = sin2x и основание логарифма а = 5. Определим это как нашу функцию g(x).

g(x) = log5(sin2x)

Теперь найдем производную функции f(x) = sin2x, которую мы нашли в шаге 1, и обозначим эту производную как f'(x).

f'(x) = 2cos(2x).

Теперь мы знаем, что производная g(x) равна f'(x) / (ln(a) * f(x)).

Подставим значения и найдем производную функции g(x) = log5(sin2x).

g'(x) = [2cos(2x)] / [ln(5) * sin(2x)].

Таким образом, производная функции f(x) = log5(sin2x) равна [2cos(2x)] / [ln(5) * sin(2x)].

Это максимально подробный ответ с обоснованием и пошаговым решением, чтобы ответ был понятен школьнику.