Найти предел функции.
Правила Лопиталя применять нельзя

Найти предел функции. Правила Лопиталя применять нельзя

Ответы

kirushaaa 05.12.2020 19:12

$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{arcsin3x}{\sqrt{2+x}-\sqrt2}=\lim\limits _{x \to 0}\dfrac{arcsin3x\cdot (\sqrt{2+x}+\sqrt2)}{(\sqrt{2+x}-\sqrt2)(\sqrt{2+x}+\sqrt2)}=\\\\\\=\lim\limits _{x \to 0}\dfrac{arcsin3x\cdot (\sqrt{2+x}+\sqrt2)}{2+x-2}=\Big[\ arcsin3x\sim 3x\, ,\ (3x)\to 0\ \Big]=\\\\\\=\lim\limits _{x \to 0}\dfrac{3x\cdot (\sqrt{2+x}+\sqrt2)}{x}=\lim\limits_{x \to 0}3(\sqrt{2+x}+\sqrt2)=3\cdot 2\sqrt2=6\sqrt2$

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

Ketti08 05.12.2020 19:12

ответ: $6\sqrt2$ Объяснение:1 Запишем $\displaystyle \lim_{x\to0} \dfrac{\arcsin 3x}{\sqrt{2+x}-\sqrt2}$ 2 Умножим на 1

Но мы представим 1 как дробь $\dfrac{\sqrt{2+x}+\sqrt2}{\sqrt{2+x}+\sqrt2}$ , такое действие еще называют домножением на сопряжённое

$\displaystyle \lim_{x\to0} \dfrac{\arcsin 3x}{\sqrt{2+x}-\sqrt2}\cdot\dfrac{\sqrt{2+x}+\sqrt2}{\sqrt{2+x}+\sqrt2}$

3 Соберем все в одну дробь

$\displaystyle \lim_{x\to0} \dfrac{\big(\sqrt{2+x}+\sqrt2\big)\arcsin 3x}{\big(\sqrt{2+x}-\sqrt2\big)\big(\sqrt{2+x}+\sqrt2\big)}$

4 Заметим в знаменателе разность квадратов

(a-b)(a+b)=a^2-b^2 где

$a=\sqrt{2+x}\\b=\sqrt2$

$\displaystyle \lim_{x\to0} \dfrac{\big(\sqrt{2+x}+\sqrt2\big)\arcsin 3x}{2+x-2}$

5 Упростим знаменатель

$\displaystyle \lim_{x\to0} \dfrac{\big(\sqrt{2+x}+\sqrt2\big)\arcsin 3x}{x}$

6 Представим дробь как произведение $\displaystyle \lim_{x\to0} \big(\sqrt{2+x}+\sqrt2\big)\cdot\dfrac{\arcsin 3x}{x}$ 7 Представим предел произведения как произведение пределов $\displaystyle \lim_{x\to0} \big(\sqrt{2+x}+\sqrt2\big)\cdot\lim_{x\to0}\dfrac{\arcsin 3x}{x}$ 8 Посчитаем первый предел $\displaystyle \big(\sqrt{2+0}+\sqrt2\big)\cdot\lim_{x\to0}\dfrac{\arcsin 3x}{x}$ $\displaystyle 2\sqrt{2}\cdot\lim_{x\to0}\dfrac{\arcsin 3x}{x}$ 9 Так как $x\sim 3x~(x\to0)$ то мы можем заметить в пределе $x\to0$ на $3x\to0$ $\displaystyle 2\sqrt{2}\cdot\lim_{3x\to0}\dfrac{\arcsin 3x}{x}$ 10 Умножим выражение пол пределом на 1

Но 1 мы представим в виде $\dfrac33$