Найти наименьшее и наибольшее значение функции y=1/3x^3-x,0 меньше или равно x меньше или равно 4

У=⅓x³-x

1) найдем критические точки: 

Найдем производную: 

У¹= x²-1

Прировняем производную к нулю: 

X²-1= o

X²= 1

X=±1, x=-1 не подходит т.к 0≤x≤4

2)  найдем значения на концах отрезка и в критической точке:

F(0)=0

F(1)= -⅔

F(4)= 52/3

ответ: наибольшее значение: f(4)= 52/3, на меньшее значение : f(1)= -⅔

Задача сводится к взятию производной от функции для поиска максимума и минимума, а также проверке значений на концах отрезка.

y' = x² - 1

критические точки

x² - 1 = 0 ⇔ x = -1, x = 1 ⇒ x=-1 не входит в нашу область по условию 0 ≤ x ≤ 4

___-1___+___0-1+4+_

y' > 0 на интервале x∈(-∞, -1)U(1, +∞)

y' < 0 при x∈(-1, 1)

производная меняет свой знак с + на - при x = -1 - это точка максимума (но по условию мы ее не рассматриваем)

c - на + при x = 1 - это точка минимума.

Найдем значение функции в этих точках:

y(1) = -2/3

Также проверим на концах отрезка [0, 4]

y(0) = 0

y(4) = 52/3

Максимум достигается при x = 4 - y = 52/3

Минимум при x = 1 - y = -2/3