Найти наибольшее значение функции y=x^2(x-6)+5 на отрезке [-1; 2]

y = x²(x - 6) + 5

y = x³ - 6x² + 5

Находим производную функции:

y' = 3x² - 12x

Исследуем на монотонность функцию:

y' ≥ 0

3x² - 12x ≥ 0

3x(x - 4) ≥ 0

x ≥ 0 при (-∞; 0] и при [4; +∞), т.е. функция возрастает на (-∞; 0], убывает на [0; 4] и возрастает на [4; +∞).

Находим значения функции в крайних точках и точке 0 (эта точка является точкой максимума, т.к. в ней существует производная и функция меняет возрастание на убывание):

y(-1) = -1 - 6 + 5 = -2

y(2) = 8 - 24 + 5 = -9

y(0) = 0 - 0 + 5 = 5

ответ: yнаиб. = 5.