Найти наибольшее значение функции y=7ln(x+7) - 7x +8 на отрезке [-6,5; 0] если можно подробно опишите

Найдём производную функции y=7ln(x+7) - 7x +8

x + 7>0

x>-7

Область определения функции D(y) = (-7; +∞)

y' = 7/(x + 7) - 7

Приравняем производную нулю

7/(x + 7) - 7 = 0

или

1/(x + 7) - 1 = 0

Следует учесть, что х > -7

(1 - х - 7)/(х + 7) = 0

или

(- х - 6)/(х + 7) = 0

-х - 6 = 0

х = -6

Разобьём область определения на интервалы и определим знак производной y' в этих интервалах.

         +             -

-7 - 6

y'(-6,5) >0 ⇒ у возрастает на интевале х∈(-7, -6]

y'(-5,5) <0 ⇒ у убывает на интервале [-6, +∞)

В точке х = -6 функция имеет локальный максимум, который и является наибольшим значением

у наиб = у mах = у(-6) = 7·ln1 - 7·(-6) +8 = 0 + 42 + 8 = 50