Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=x^4-8x^2-9 на отрезке [-1; 1]

F(x)`=(x⁴-8x²-9)`=0      [-1;1]
4x³-16x=0   I÷4
x(x²-4)=0
x₁=0   x₂=2   x₂∉  x₃=-2  x₃∉
y(-1)=(-1)⁴-8*(-1)²-9=-16
y(0)=0⁴-8*0²-9=-9
y(1)=1⁴-8*1²-9=1-8-9=-16
ответ: уmin=-16   ymax=-9.

Хорошо, давайте разберемся с этим вопросом.

Для начала, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке, мы должны найти критические точки на этом отрезке. Критические точки - это точки, где производная функции равна нулю или не существует.

Давайте найдем производную функции f(x). Производная функции f(x) = x^4-8x^2-9 будет равна 4x^3 - 16x.

Теперь, чтобы найти критические точки функции, мы должны приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение:

4x^3 - 16x = 0

Мы можем разделить это уравнение на 4 и упростить:

x^3 - 4x = 0

Теперь продолжим решать это уравнение. Мы видим, что x является общим множителем в левой части уравнения, поэтому мы можем вынести его за скобки:

x(x^2 - 4) = 0

Теперь мы имеем два возможных значения для x: x = 0 и x^2 - 4 = 0.

Решим x^2 - 4 = 0:

x^2 = 4

x = ±2

Итак, у нас есть три критические точки: x = 0, x = -2 и x = 2.

Теперь нам нужно определить, являются ли эти точки минимумами или максимумами функции. Для этого мы можем использовать вторую производную тест. Если вторая производная положительна в точке, то это точка минимума, а если вторая производная отрицательна, то это точка максимума.

Найдем вторую производную функции f(x):

f'(x) = 12x^2 - 16

Теперь найдем f''(x) - вторую производную функции:

f''(x) = 24x

Теперь подставим каждую из критических точек в формулу f''(x).

f''(0) = 24 * 0 = 0

f''(-2) = 24 * -2 = -48

f''(2) = 24 * 2 = 48

Итак, у нас есть следующая информация о наших критических точках:

f''(0) = 0 - это не дает нам информации о максимуме или минимуме.

f''(-2) = -48 - это говорит нам, что x = -2 является точкой максимума.

f''(2) = 48 - это говорит нам, что x = 2 является точкой минимума.

Теперь остается проверить функцию на концах заданного отрезка, то есть в точках x = -1 и x = 1.

Подставим x = -1 в функцию f(x):

f(-1) = (-1)^4 - 8(-1)^2 - 9 = 1 - 8 - 9 = -16

Подставим x = 1 в функцию f(x):

f(1) = (1)^4 - 8(1)^2 - 9 = 1 - 8 - 9 = -16

Итак, наша функция принимает значение -16 как в точке x = -1, так и в точке x = 1.

Таким образом, наибольшее значение функции f(x) на отрезке [-1; 1] равно -16 и достигается в точках x = -1 и x = 1, а наименьшее значение также равно -16 и достигается в точках x = -2 и x = 2.

Надеюсь, этот ответ понятен для школьника. Если возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!