Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-1,5; 1,5] y=x^3+9x^2+15

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

1. Сначала найдем значения функции на концах отрезка [-1,5; 1,5].
Подставим первую границу отрезка в функцию:
y = (-1,5)^3 + 9*(-1,5)^2 + 15 = -3,375 + 20,25 + 15 = 31,875
Значение функции на первой границе равно 31,875.

Теперь подставим вторую границу отрезка в функцию:
y = (1,5)^3 + 9*(1,5)^2 + 15 = 3,375 + 20,25 + 15 = 38,625
Значение функции на второй границе равно 38,625.

2. Теперь нам нужно найти критические точки функции на отрезке [-1,5; 1,5]. Это могут быть точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Сначала найдем производную функции:
y = x^3 + 9x^2 + 15
y' = 3x^2 + 18x

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю и решим уравнение:
3x^2 + 18x = 0
x(3x + 18) = 0

У нас есть два множителя, которые могут быть равными нулю. Проверим каждый из них:
1) x = 0
2) 3x + 18 = 0 => 3x = -18 => x = -6

Получили две критические точки: x = 0 и x = -6.

3. Теперь найдем значения функции в найденных критических точках.
Подставим x = 0 в функцию:
y = 0^3 + 9*0^2 + 15 = 0 + 0 + 15 = 15
Значение функции в точке x = 0 равно 15.

Подставим x = -6 в функцию:
y = (-6)^3 + 9*(-6)^2 + 15 = -216 + 324 + 15 = 123
Значение функции в точке x = -6 равно 123.

4. Теперь сравним все найденные значения функции: 31,875, 38,625, 15, 123.
Наименьшее значение функции - 15, полученное при x = 0.
Наибольшее значение функции - 123, полученное при x = -6.

Ответ: Наименьшее значение функции y = x^3 + 9x^2 + 15 на отрезке [-1,5; 1,5] равно 15, а наибольшее значение - 123.