Найти матрицу оператора поворота относительно оси oy на угол π/4 в положительном направлении, указать его область значений и ядро.

Добрый день! Я рад выступать в роли вашего школьного учителя и помочь разобраться с вопросом о матрице оператора поворота относительно оси oy на угол π/4 в положительном направлении.

Для начала, давайте определим, что такое матрица оператора поворота. Матрица оператора поворота представляет собой матрицу, с помощью которой мы можем изменить координаты точки при повороте вокруг некоторой оси на определенный угол.

Для нахождения матрицы оператора поворота относительно оси oy на угол π/4 в положительном направлении, мы можем воспользоваться формулой:

| cos(θ) 0 sin(θ) |
| 0 1 0 |
| -sin(θ) 0 cos(θ) |

где θ - угол поворота.

В нашем случае угол поворота π/4, поэтому подставим его в формулу и получим матрицу оператора поворота:

| cos(π/4) 0 sin(π/4) | | √2/2 0 √2/2 |
| 0 1 0 | = | 0 1 0 |
| -sin(π/4) 0 cos(π/4) | | -√2/2 0 √2/2 |

Таким образом, матрица оператора поворота относительно оси oy на угол π/4 в положительном направлении будет:

| √2/2 0 √2/2 |
| 0 1 0 |
| -√2/2 0 √2/2 |

Теперь давайте перейдем к области значений и ядру данного оператора.

Область значений оператора - это множество всех векторов, которые могут быть получены при применении данного оператора к какому-либо вектору.

Для нахождения области значений данного оператора, мы можем применить его к различным векторам. Например, возьмем вектор (x, y, z) и умножим его на матрицу оператора поворота:

| √2/2 0 √2/2 | | x | | √2/2 * x + √2/2 * z |
| 0 1 0 | * | y | = | y |
| -√2/2 0 √2/2 | | z | | -√2/2 * x + √2/2 * z |

Таким образом, мы получили новый вектор ( √2/2 * x + √2/2 * z, y, -√2/2 * x + √2/2 * z).
Таким образом, область значений оператора состоит из всех векторов, которые можно представить в таком виде.

Теперь перейдем к ядру оператора - это множество всех векторов, при которых оператор дает нулевой результат.

Для нахождения ядра оператора, мы должны решить уравнение:

| √2/2 0 √2/2 | | x | | 0 |
| 0 1 0 | * | y | = | 0 |
| -√2/2 0 √2/2 | | z | | 0 |

Из данного уравнения следует система уравнений:

√2/2 * x + √2/2 * z = 0
y = 0
-√2/2 * x + √2/2 * z = 0

В данной системе уравнений можно заметить, что значение y всегда равно нулю.
Таким образом, для ядра оператора x и z должны быть такими значениями, при которых выполняются условия:

√2/2 * x + √2/2 * z = 0
-√2/2 * x + √2/2 * z = 0

Таким образом, ядро оператора состоит из всех векторов, которые можно представить в виде:
(α, 0, -α), где α - произвольное число.

Надеюсь, ответ был понятен и подробен. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!